概率论——1 基础概念

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随机试验

若试验满足以下三个条件，则可以称为随机试验，简称试验，记为$E$

1. 试验可以在相同条件下重复进行
2. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果
3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现

有几个随机试验的例子：

• 抛一枚硬币，观察正面和反面出现的情况
• 记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数
• 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命
• 记录某地一昼夜的最高温度和最低温度

通过随机试验我们可以收集数据，进而研究随机现象的统计规律

样本空间

把E收集到的数据放在一起构成集合，引出样本空间的概念

• 样本空间：随机试验所有可能的结果组成的集合，记为$S$或$\Omega$
• 样本点：随机试验的每个结果，称为样本点，记为$e$

样本空间是由全部样本点组成的集合，即 S ＝ { e } S＝\{e\} S＝{
e}

对样本空间的描述有两种方法：

1. 枚举法（结果有限个）
2. 描述法（结果无限个）

随机事件

样本空间相当于一个全集，但人们常常关心满足某些条件的样本点，是样本空间的一个子集

• 随机事件：样本空间$S$的子集称为E的随机事件，用$A$，$B$等表示，简称事件
• 事件发生：在每次试验中，当且仅当随机事件中的一个样本点出现，称此事件发生
• 基本事件：由一个样本点组成的单点集，称为基本事件
• 必然事件：样本空间$S$包含所有样本点，在每次试验中它总发生，故称为必然事件
• 不可能事件：空集$\varnothing$不包含任何样本点，在每次试验中都不发生，称为不可能事件

事件关系运算

事件间关系

事件间的关系可以分为四种：

• 包含：$A\subset B$，表示$A$事件发生必然导致$B$事件发生
• 相等：$A=B$，表示$A$事件发生必然导致$B$事件发生，反之亦然
• 互斥（互不相容）：$AB=\varnothing$，事件$A$和事件$B$不可能同时发生
• 对立：$AB=\varnothing$且$A\cup B=S$在一次试验中，事件$A$和事件$B$有且只有一个发生，$B=\bar{A}$

事件间基本运算

事件间的基本运算主要有三种：

• 和：$A+B$或$A\cup B$，表示$A$和$B$至少有一个发生时，$A+B$发生
• 交：$A\cap B$，当且仅当表示$A$和$B$同时发生时，$A\cap B$发生
• 差：$A-B$或$A\bar{B}$，当且仅当$A$发生，$B$不发生时，$A-B$发生

事件运算法则

• 吸收率：若$A\subset B$，则$A\cup B=B$，$AB=A$，$\bar{A}\subset \bar{B}$
• 交换律：$A\subset B=B\subset A$，$AB=BA$
• 结合律：$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$，$(AB)C=A(BC)$
• 分配率：$A(B\cup C)=AB\cup AC$，$A\cup BC=(A\cup B)(A\cup C)$，$A(B-C)=AB-AC$
• 对偶律（德摩根率）：

事件运算顺序约定为先进行逆运算，而后交运算，最后并或差运算

概率和频率

概率–描述性定义

称随机事件$A$发生的可能性大小的度量（非负值）为事件$A$​发生的概率

频率–概率的统计性定义

在相同条件下，进行了$n$次试验，在这$n$次试验中，事件$A$发生的次数$n_A$，称为事件$A$发生的频数，比值$\frac{n_A}{n}$称为事件$A$发生的频率，并记成$f_n(A)$

频率的基本性质

概率的公理化定义

设$E$是随机试验，$S$是它的样本空间，对于$E$的每一个事件$A$赋予一个实数，记为$P(A)$，如果集合函数$P()$满足下列条件：

概率的基本性质

1. $P(\varnothing )=0$
2. 
3. 减法公式：设$A$，$B$是任意两个事件，则$P(A-B)=P(A)-P(AB)$​
4. 单调性：设$A$，$B$是任意两个事件，若$B\subset A$，则$P(A-B)=P(A)-P(B)$，$P(A)\ge P(B)$
5. 有界性：对任意事件$A$，$P(A)\le 1$​
6. 逆事件概率：对任意事件，有$P(\bar{A})=1-P(A)$
7. 加法公式：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$，推广：$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)$