再理解：零空间、行空间、列空间、左零空间、基础解系、极大线性无关组、齐次解、非齐次解之间的关系

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1.再理解：零空间、行空间、列空间、左零空间、基础解系、极大线性无关组、齐次解、非齐次解之间的关系

笔记来源：This is what matrices (and matrix manipulation) really look like

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此篇文章仅以方阵为例

1.1 零空间（Null Space，$N(A)$）

1.2 行空间（Row Space，$C(A^T)$）

$$A^T\vec{y}=\vec{b}$$
将上式化为矩阵$A$乘以某个向量的形式
$$\begin{gathered} A^T\vec{y}=\vec{b} \\ (A^T\vec{y}{)}^T={\vec{b}}^T \\ {\vec{y}}^{T}A={\vec{b}}^T \end{gathered}$$
矩阵左乘向量
下面第一张图来自：矩阵乘法核心思想（2）：行空间

我们观察一下矩阵$A$ 的行向量与零空间中的向量之间的关系

矩阵$A$的三个行向量张成行空间，白线为矩阵$A$的零空间，我们发现行空间⊥零空间

1.3 零空间与行空间

零空间⊥行空间

1.4 列空间（Column Space，$C(A)$）

1.5 左零空间（Left Nullspace，$N(A^T)$）

1.6 列空间与左零空间

左零空间⊥列空间

1.7 各个空间之间的关系

对任一矩阵$A_{m\times n}$ 都有 $\text{Row Rank}=\text{Column Rank}=\text{Rank}$

行空间：$\text{im}(A^T)$
零空间：$\text{ker}(A)$
列空间：$\text{im}(A)$
左零空间：$\text{ker}(A^T)$
行空间和零空间构成$n$维空间
列空间和左零空间构成$m$维空间

1.8 基础解系、极大线性无关组

1.9 齐次与非齐次方程组的解

$A\vec{x}=\vec{b}$ 的解集是一个和 $A\vec{x}=\vec{0}$ 的解空间相平行的结构，该结构是Ax=0的解空间沿着一个特解方向平移的结果 –摘自：非齐次线性方程组通解的结构如何理解？