概率论总结（四）：矩母函数（含证明，超级简单明了！）

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目录：

• 定义
• 常见随机变量的矩母函数
  – 泊松随机变量的矩母函数
  – 二项随机变量的矩母函数
  – 几何随机变量的矩母函数
  – 指数随机变量的矩母函数
  – 随机变量线性函数的矩母函
  – 正态分布随机变量的矩母函数
  – 均匀随机变量的矩母函数
  
  
  
  
  
  
  
• 从矩母函数到矩
• 矩母函数的可逆性
• 独立随机变量和
• 汇总

矩母函数（Moment Generating Function） 是对概率(分布列或者概率密度函数)的另一种表述。它并不是特别直观的, 但是在解决某些类型的数学计算时很方便。

定义：


随机变量是 X 时,矩母函数也可以简记为M(s)。
当 X 是离散随机变量时,相关矩母函数为：
当 X 是连续随机变量时,相关矩母函数为：
例：

其相应的矩母函数为：

常见随机变量的矩母函数

💁泊松随机变量的矩母函数

设随机变量 X 服从参数为λ 的指数分布：
则：

以上运算和M(s)的公式仅在 s<λ下成立, 否则积分为无穷.
重要的是要认识到矩母函数不是一个数而是一个参数为 s 的函数。

💁随机变量线性函数的矩母函数

区间[a,b]上均匀分布的连续 随机变量 X 的矩母函数:

离散情况下：
设X 分布列是　：
其矩母函数为：

从矩母函数到矩

矩母函数的可逆性

独立随机变量和

独立随机变量的和 的矩母函数是和项的矩母函数的乘积.
记 X 和 Y 为独立的随机变量, 并记Z=X+Y根据定义, Z 的矩母函数为:

因为 X 和 Y 是独立的, 对于任意的 s，

汇总