向量和矩阵的点乘、叉乘

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一、向量

（1）点乘

向量点积， 𝑎⋅𝑏=𝑐 ，符号为 ⋅ ，要求向量长度相同，是两个向量之间的点乘运算，结果是一个标量。又称：点乘、数量积、标量积、scalar product、projection product等。

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + … + aᵢbᵢ

在Python中，可以使用NumPy库来计算向量的点乘：

示例代码

 import numpy as np # 定义两个向量 a = np.array([1, 2, 3]) b = np.array([4, 5, 6]) # 计算点乘 dot_product = np.dot(a, b) print("点乘结果:", dot_product)

（2）叉乘

与向量点乘不同，叉乘仅适用于三维向量，向量叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。两个向量叉乘所得向量与这两个向量垂直，如下图所示。

示例代码：

import numpy as np # 定义两个三维向量 a = np.array([1, 2, 3]) b = np.array([4, 5, 6]) # 计算叉乘（注意：NumPy的cross函数仅适用于三维向量） cross_product = np.cross(a, b) print("叉乘结果:", cross_product)

二、矩阵

（1）点乘

矩阵的点乘（也称为元素乘法或哈达玛乘积）是两个相同大小矩阵之间的一种运算，其结果是一个与这两个矩阵大小相同的新矩阵，其中每个元素都是原矩阵对应位置元素的乘积。

ps: 向量可以看作是一个列矩阵或行矩阵，

实例代码：

A = np.array([[1],[2]]) B = np.array([[1,2,4],[1,4,5]]) C = np.array([[1,2,3],[4,5,6]]) X = A*B array([[ 1, 2, 4], [ 2, 8, 10]]) X == np.multiply(A,B) array([[ True, True, True], [ True, True, True]]) Y = B*C array([[ 1, 4, 12], [ 4, 20, 30]]) Y == np.multiply(B,C) array([[ True, True, True], [ True, True, True]])

（2）叉乘

矩阵乘法是两个矩阵之间的一种运算，其结果是一个新矩阵。对于矩阵A（m×n）和矩阵B（n×p），只有当A的列数等于B的行数时，才能进行乘法运算，结果矩阵C的大小为m×p。

实例代码：

A = np.array([[1,2],[3,4],[1,5]]) B = np.array([[1,2],[2,1]]) A@B array([[ 5, 4], [11, 10], [11, 7]]) A@B == np.dot(A,B) array([[ True, True], [ True, True], [ True, True]])