数学建模——运动场选址问题

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一、问题重述

1.1问题背景

这是一个最优选址问题，是一个长期的决策，选址的直接影响到运动场对居民们的服务质量以及服务效率。在社会越来越发展的同时，人们也开始更加注重自己的身体健康，运动场地的建设对于地区居民的健康以及人们充分利用公共设施资源都起着至关重要的作用。在社会越来越发展的同时，人们也开始更加注重自己的身体健康。

1.2问题重述

地区中运动场的选址对于居民运动健身和充分利用公共设施的资源有着十分重要的意义。

某地区原来有4块运动场，分别位于下图中的2、6、12、15位置。现计划在该区域中增设一个新运动场所。

说明：

1、连接线表示有道路相通

2、连接线上数字表示两地距离（单位:百米）

3、圆圈内数字是位置序号

4、各点代表的居民数见表(1)

位置	1	2	3	4	5	6	7	8	9
人数	60	48	48	45	42	38	30	32	32
位置	10	11	12	13	14	15	16	17	18
人数	30	30	36	25	20	15	20	12	16

表(1) 各点居民数（单位:千人）

所需解决的问题如下：

（1）设计出运动场合理选址的数学模型

（2）根据设计的数学模型，分析原来的选址是否合理？

（3）如果考虑增设1个新运动场（只能设在居民点），根据建立的数学模型，结合原来的选址优缺点，分析应增设到哪个位置？

二、模型假设及符号说明

2.1模型假设

假设1：相邻两个居民点之间的道路近似认为是直线，把城市地图抽象成由点和线组成的无向网络赋权图。图中连接线上数字表示两地距离（单位:百米）

假设2：居民在前往运动场的途中畅通无阻，即不考虑途中休息、道路维修、拥挤堵塞、发生交通事故等因素对前行速度的影响

假设3：居民从出发点行至运动场时均为步行，且步行速度一致

2.2符号说明

m	表示待选运动场
n	表示居民点
Pn	表示居民点n的人口数，即该居民点的权重
Sm	表示所有居民以最短距离到运动场m的路程之和
S	表示Sm的集合
Dmn	表示居民点n到运动场m的最短距离
D	表示Dmn的集合
Wmn或Xmn	表示居民点到不同运动场的最短距离
Wi或Xi	表示Wmn的集合或Xmn的集合
km或tm	表示每一个运动场容纳的居民数
Ki或Ti	表示km的集合或tm的集合
`x	表示平均人数
Avgi或AVGi	表示平均值
si或s’i	表示方差
Ri或R’i	表示极值
Wimax或Ximax	表示最大值
Wimin或Ximin	表示最小值

三、问题分析

3.1问题(一)：

以“大多数居民能以最短的距离到达离住所最近的运动场”为目标，选择合适的居民点修建运动场。

在多目标的选址问题中，宜采用单目标优化模型。首先，统计任意两个居民点之间的最短距离。其次，列出每一个居民点的居民以最短距离到各个运动场的距离之和。最后，根据数值大小升序排列，数值最小为最优。

3.2问题(二)：

选出数值最优的四个居民点作为运动场，从平均距离、个体距离的公平性及人数分布的均衡性三个方面出发，与2，6，12，15位置作比较，分析原来的选址的合理性。

3.3问题(三)：

针对原址的缺点，选择合适位置，使得各个居民点到附近运动场的距离最短。

四、模型建立与求解

4.1问题一

4.1.1模型建立

使用floyd算法求出任意两个居民点的最短距离Dmn，列出集合D

确定目标函数：Pn表示居民点n的人口数。算出Sm，其中：

(m=1,2,3,4,……,16,17,18 ；n=1,2,3,4,……,16,17,18)

列出Sm的集合S，取数值最小的作为最优运动场

4.1.2模型求解

集合 S

n m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
1	0	20	18	18	15	36	53	47	50	48	50	38	66	44	60	36	66	72
2	20	0	26	38	28	56	66	60	30	28	30	30	58	52	80	56	86	92
3	18	26	0	20	33	38	70	65	56	54	46	20	48	26	60	38	68	74
4	18	38	20	0	18	18	48	50	68	66	66	40	68	46	42	18	48	54
5	15	28	33	18	0	36	38	32	58	56	58	58	81	59	60	36	66	72
6	36	56	38	18	36	0	68	68	86	84	84	58	86	64	60	36	66	36
7	53	66	70	48	38	68	0	70	96	94	96	90	118	96	92	68	66	34
8	47	60	65	50	32	68	70	0	36	88	90	90	113	91	92	68	98	104
9	50	30	56	68	58	86	96	36	0	58	60	60	88	82	110	86	116	122
10	48	28	54	66	56	84	94	88	58	0	30	56	62	80	108	84	114	120
11	50	30	46	66	58	84	96	90	60	30	0	26	32	64	98	84	114	120
12	38	30	20	40	58	58	90	90	60	56	26	0	28	46	80	58	88	94
13	66	58	48	68	81	86	118	113	88	62	32	28	0	32	66	86	102	122
14	44	52	26	46	59	64	96	91	82	80	64	46	32	0	34	58	70	100
15	60	80	60	42	60	66	92	92	110	108	98	80	66	34	0	24	36	68
16	36	56	38	18	36	36	68	68	86	84	84	58	86	58	24	0	30	62
17	66	86	68	48	66	66	66	98	116	114	114	88	102	70	36	30	0	32
18	72	92	74	54	72	36	34	104	122	120	120	94	122	100	68	62	32	0

S={ S1=19728,S2=22456,S3=21130,S4=20970,S5=22153,S6=29508,

S7=39246,S8=37055,S9=37586,S10=35476,S11=33280,S12=27410,

S13=39104,S14=32666,S15=39852,S16=29496,S17=43410,S18=45640 }

升序排列为：

S1、S4、S3、S5、S2、S12、S16、S6、S14、S11、S10、S8、S9、S13、S7、S15、S17、S18

数值最小的居民点为最优运动场修建点

4.2问题二

4.2.1模型建立

由所设计的选址模型可得，位置为1,4,3,5的居民点为四个最优运动场修建点

组1：用matlab找出各个居民点离位置为2,6,12,15的运动场的最短距离Wmn，记为集合W1

组2：用matlab找出各个居民点离位置为1,4,3,5的运动场的最短距离Wmn，记为集合W2

(1)求平均值，比较其大小,反映总体差异

(m=2,6,12,15；n=1,2,3,4,……,16,17,18；t=1,2,3,4)

(m=1,4,3,5；n=1,2,3,4,……,16,17,18；t=1,2,3,4)

(2)计算集合A1、A2中两组数据的极差R，比较其大小，表现个体差异，反映个体距离的公平性

根据集合A1、A2中数值，用matlab找出最大最小值，建立柱状图，计算每组数据的极差，观察分析数据，判断各个居民点到离住所最近的运动场的距离

Ri表示极值，其中i代表组1,组2

设A1中最大值为W1max，最小值为W1min

设A2中最大值为W2max，最小值为W2min

(3)以居民均选择到离住所最近的运动场为前提，按照组别，计算统计两组数据中，每一个运动场容纳的居民数,设居民数为km

组1中记为集合K1

组2中记为集合K2

计算集合B1、B2中两组数据的方差s1、s2，分析其离散程度，反应人数分布的均衡性

设人数平均数为`x，则有

4.2.2模型求解

（一）

n m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
2	20	0	26	38	28	56	66	60	30	28	30	30	58	52	80	56	86	92
6	36	56	38	18	36	0	68	68	86	84	84	58	86	64	60	36	66	36
12	38	30	20	40	53	58	90	90	60	56	26	0	28	46	80	58	88	94
15	60	80	60	42	60	66	92	92	110	108	98	80	66	34	0	24	36	68

W1={ 20,0,20,18,28,0,66,60,30,28,26,0,28,34,0,2,36,36 }

（二）

n m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
1	0	20	18	18	15	36	53	47	50	48	50	38	66	44	60	36	66	72
4	18	38	20	0	18	18	48	50	68	66	66	40	68	46	42	18	48	54
3	18	26	0	20	33	38	70	65	56	54	46	20	48	26	60	38	68	74
5	15	28	33	18	0	36	38	32	58	56	53	58	81	59	60	36	66	72

W2={ 0,20,0,0,0,18,38,32,50,48,46,20,48,26,42,18,48,54 }

(1)求平均值，比较其大小，反映总体差异

Avg1≈23.30 Avg2≈22.62

易知：

Avg2 < Avg1，即从总体上看，居民到以位置1,4,3,5为运动场的平均距离较到以位置2,6,12,16为运动场的平均距离短

(2)比较集合A1、A2中数据的大小，计算每组数据的极差，反应个体差异

R1=66-0=66

R2=54-0=54

易知：

R2 < R1，即在原来的选址中，居民点7,8的居民分别至少走6600和6000的距离才能到最近距离的运动场。而在以位置1,4,3,5为运动场的情况中，各个居民点的居民到离住所最近运动场的距离都控制在5500以内。

(3)分析其离散程度，反应人数分布的均衡性

K1={ 274,119,139,67 }

K2={ 170,146,159,104 }

s12=5861.6875；s1≈76.56165

s22=625.6875；s2≈25.01374

易知：s2 < s1，即组1人数分布的均衡性相较组2较差

综上所述：以位置1,4,3,5为运动场比以位置2,6,12,16为运动场更方便更公平

4.3问题三

4.3.1模型建立

确定约束条件：

只能在原址的基础上增设一个运动场
运动场只能设在居民点

建立柱状图，分析数据，推断出合理的增设地点，使得居民点7,8的居民到新设运动场的最短距离都最短。最后进行综合评定选出最优选址

m n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
7	53	66	70	48	38	68	0	70	96	94	96	90	118	96	92	68	66	34
8	47	60	65	50	32	68	70	0	36	88	90	90	113	91	92	68	98	104

4.3.2模型求解

易知：居民点7,8到位置5最优，位置4,1为次优

选择居民点4,1从总路程的长短、个体距离的公平性、人数分布的均衡性三方面与居民点5进行比较

组1;：用matlab找出各个居民点离位置为2,6,12,15,5的运动场的最短距离Xmn，记为集合X1

组2;：用matlab找出各个居民点离位置为2,6,12,15,4的运动场的最短距离Xmn，记为集合X2

组3’：用matlab找出各个居民点离位置为2,6,12,15,1的运动场的最短距离Xmn，记为集合X3

(a)

(b)R’i表示极值，其中i代表组1’,组2’,组3

(c)以居民均选择到离住所最近的运动场为前提，按照组别，计算统计三组数据中，每一个运动场容纳的居民数,设各组中所得居民数为tm

组1记为集合T1；组2记为集合T2；组3记为集合T3

计算集合E1、E2、E3中三组数据的方差s’1、s’2、s’3，分析其离散程度，反应人数分布的均衡性

(一)

n m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
2	20	0	26	38	28	56	66	60	30	28	30	30	58	52	80	56	86	92
6	36	56	38	18	36	0	68	68	86	84	84	58	86	64	60	36	66	36
12	38	30	20	40	53	58	90	90	60	56	26	0	28	46	80	58	88	94
15	60	80	60	42	60	66	92	92	110	108	98	80	66	34	0	24	36	68
5	15	28	33	18	0	36	38	32	58	56	53	58	81	59	60	36	66	72

X1={ 15,0,20,18,0,0,38,32,30,28,26,0,28,34,0,24,38,36 }

AVG1=17.

R’1=38

T1={ 110,99,139,67,164 }

s’12=1111.76；s’1≈33.34306

(二)

n m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
2	20	0	26	38	28	56	66	60	30	28	30	30	58	52	80	56	86	92
6	36	56	38	18	36	0	68	68	86	84	84	58	86	64	60	36	66	36
12	38	30	20	40	53	58	90	90	60	56	26	0	28	46	80	58	88	94
15	60	80	60	42	60	66	92	92	110	108	98	80	66	34	0	24	36	68
4	18	38	20	0	18	18	48	50	68	66	66	40	68	46	42	18	48	54

X2={ 18,0,20,0,18,0,48,50,30,28,26,0,28,34,0,18,36,36 }

AVG2=17.

R’2=50

T2={ 110,54,139,47,229 }

s’22=4387.76；s’2≈66.24016

(三)

n m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
2	20	0	26	38	28	56	66	60	30	28	30	30	58	52	80	56	86	92
6	36	56	38	18	36	0	68	68	86	84	84	58	86	64	60	36	66	36
12	38	30	20	40	53	58	90	90	60	56	26	0	28	46	80	58	88	94
15	60	80	60	42	60	66	92	92	110	108	98	80	66	34	0	24	36	68
1	0	20	18	18	15	36	53	47	50	48	50	38	66	44	60	36	66	72

X3={ 0,0,20,18,15,0,53,47,30,28,26,0,28,34,0,24,36,36 }

AVG3=17.

R’3=53

T3={ 110,99,139,67,164 }

s’32=1111.76；s’3≈33.34306

综上所述：在居民点5修建新运动场为最优

五、模型分析

综合各个居民小区到运动场的最短距离，以及到居民到运动场的交通状况的模型优化的情况考虑，建立模型选择合适小区来建设运动场的模型是合理的，既可以节省整体居民的人均交通时间，使得运动者在最少时间内能够到达运动场，从整个居民区所有居民的角度考虑，此方案很合理。

六、模型评价与推广

6.1模型评价

6.1.1模型优点

（1）模型简单明了，更容易理解。

（2）适用范围广，对于其他的选址问题依然适用，推广性较强，具有通用性。

（3）所建立的模型与实际紧密联系。

（4）基于成熟的理论基础，利用软件Matlab进行精密计算，可信度高。

6.1.2模型缺点

（1）在建模过程中，居民前往运动场的过程中可能会受到路况和交通等因素的影响，但在建模的过程中忽略了客观因素的影响。

（2）建立的模型只能基于满足大多数居民的前提出发，不能满足所有居民对距离最近的需求。

（3）模型和算法的选取比较单一，未能用到更多、更好的优化模型，缺乏与其他模型的对比性。

6.2模型推广

该模型是一个典型的最优选址问题，在实际的生活中也有着广阔的适用空间，此模型不仅适用于居民区运动场选址问题，同样也可以解决相类似的选址问题，如学校选址问题、邮局选址问题、银行选址问题等。

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n m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
1	0	20	18	18	15	36	53	47	50	48	50	38	66	44	60	36	66	72
2	20	0	26	38	28	56	66	60	30	28	30	30	58	52	80	56	86	92
3	18	26	0	20	33	38	70	65	56	54	46	20	48	26	60	38	68	74
4	18	38	20	0	18	18	48	50	68	66	66	40	68	46	42	18	48	54
5	15	28	33	18	0	36	38	32	58	56	58	58	81	59	60	36	66	72
6	36	56	38	18	36	0	68	68	86	84	84	58	86	64	60	36	66	36
7	53	66	70	48	38	68	0	70	96	94	96	90	118	96	92	68	66	34
8	47	60	65	50	32	68	70	0	36	88	90	90	113	91	92	68	98	104
9	50	30	56	68	58	86	96	36	0	58	60	60	88	82	110	86	116	122
10	48	28	54	66	56	84	94	88	58	0	30	56	62	80	108	84	114	120
11	50	30	46	66	58	84	96	90	60	30	0	26	32	64	98	84	114	120
12	38	30	20	40	58	58	90	90	60	56	26	0	28	46	80	58	88	94
13	66	58	48	68	81	86	118	113	88	62	32	28	0	32	66	86	102	122
14	44	52	26	46	59	64	96	91	82	80	64	46	32	0	34	58	70	100
15	60	80	60	42	60	66	92	92	110	108	98	80	66	34	0	24	36	68
16	36	56	38	18	36	36	68	68	86	84	84	58	86	58	24	0	30	62
17	66	86	68	48	66	66	66	98	116	114	114	88	102	70	36	30	0	32
18	72	92	74	54	72	36	34	104	122	120	120	94	122	100	68	62	32	0

n m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
2	20	0	26	38	28	56	66	60	30	28	30	30	58	52	80	56	86	92
6	36	56	38	18	36	0	68	68	86	84	84	58	86	64	60	36	66	36
12	38	30	20	40	53	58	90	90	60	56	26	0	28	46	80	58	88	94
15	60	80	60	42	60	66	92	92	110	108	98	80	66	34	0	24	36	68

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