一文搞定母函数（定义详细解释）

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1.为什么要有母函数？

在概率论中，描述随机变量概率规律的最有力工具一般是分布函数，但是按分布函数去分类型，离散型和连续型泾渭分明，那我们能不能有一个统一的形式去表示随机变量的概率规律，也就是说，不管是离散的还是连续的，我们都用同一个形式给表现出来，此时，母函数的概念就诞生了。

2.母函数的定义？

定义：对任何实数列 $\{p_{n}\}$ ，如果幂级数

$G(s)=\sum ^{\infty }_{n=0}p_{n}s^{n}$

的收敛半径 0″>，则称 G(s) 为数列 $\{p_{n}\}$ 的母函数。

特别的当 $\{p_{n}\}$ 为某非负整数值随机变量 $\xi$ 的概率分布时，上式至少在区间 [-1,1] 上绝对收敛且一致收敛。此时有

$G(s)=E(s^{\xi })$

称 G(s) 为随机变量 $\xi$ 或其概率分布 $\{p_{n}\}$ 的母函数。

上述的这些定义来自杨振明第二版概率论。单单看定义的话，小伙伴们很容易就发现，这不就是数学里面幂级数的内容嘛，换个说法而已，哈哈哈哈，这个确实是，我换个写法

$S(x)=\sum ^{\infty }_{n=0}a_{n}x^{n}$

是不是更明显啦，母函数 G(s) 不就是和函数 S(x) 嘛，对的，其实差不多，但根据定义我们可以发现， G(s) 的范围比 S(x) 小一些，是属于包含关系。

这里为什么说至少在区间 [-1,1] 上绝对收敛且一致收敛。是因为概率嘛是在 [0,1] 内，所以 $0\leq p_{n}\leq 1$ ，由幂级数求收敛半径，有

$\rho =\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{p_{n}}$ ， $s_{0}=\frac{1}{\rho }$

所以至少有在区间 [-1,1] 上绝对收敛且一致收敛。

这个定义其实和概率论的关系不太大，要是不理解的小伙伴其实是数学分析或者高数里面的级数部分没学好哦，建议再看看那部分。

3. 常见分布的母函数？

3.1泊松分布的母函数

$G(s)=\sum_{k=0}^{\infty }s^{k}p(k;\lambda )=\sum_{k=0}^{\infty }s^{k}\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }=e^{\lambda (s-1)}$

3.2几何分布的母函数

$G(s)=\sum_{k=1}^{\infty }s^{k}g(k;p )=\sum_{k=1}^{\infty }s^{k}q^{k-1}p=\frac{ps}{1-qs}$

ok，就到这里叭~有不对的地方欢迎小伙伴儿批评指正。

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