高级弥散模型：单指数、IVIM、DKI、SEM、FROC、CTRW

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1 单指数模型 (conventional mono-exponential model )：

$SI=SI_{0}.e^{(-b.ADC)}$

$SI_{0}$ 是Ｔ2加权的信号强度（或者是b=0sec/mm2），b代表弥散敏感因子，D代表弥散系数，其中b大小又等于

$b= \gamma ^{2}G^{2}T^{2}(T-\frac{t}{3}))$

单指数模型的参数图为：ADC

2 双指数模型IVIM (intro-voxel incoherent movement )

$S_{b}=S_{0}(1-f)e^{(-bD)}+S_{0}fe^{(-b(D+D*)}$

其中

$b= \gamma ^{2}G^{2}T^{2}(T-\frac{t}{3}))$

f表示由于微循环导致的弥散系数改变占总的弥散系数的分数，所以在该公式中，单纯弥散系数的改变所占的比例为 (1-f)，由微循环灌注引起来的总的弥散系数的改变为f。双指数模型所得到的参数图为：D、D*、f。

3 弥散峰度模型DKI (diffusion kurtosis imaging)

$S_{b}=S_{0}e^{(-bD+b^{2}D^{2}K/6)}$

考虑到组织内结构的复杂性，组织内水分的扩散运动概率不在符合高斯分布，而是一种非高斯分布，因而引进了峰度参数K进行校正；其与单指数模型的关系，当K=0的时候，即为高斯分布，因此K值反映了组织内部水分子弥散运动的复杂程度。 DKI模型的参数图：D图、K图。

4 拉伸指数模型 SEM (stretched exponential model)

$S_{b}=S_{0}e^{(-bDDC)^{\alpha }}$

拉伸指数模型假设体素内弥散系数是连续分布的，并不是简单的几种成分。这个公式中，α（阿尔法）代表组织的复杂程度，这个量化指标叫体素内弥散成分不均质性。α=1的时候，类似于理想情况下的单指数模型；而α越接近0，则代表弥散不均质性越高，反映了组织结构越复杂。公式中另一个量化指标DDC，表示分布弥散系数，代表体素内平均弥散率。拉伸指数参数图：DDC、α（阿尔法）。

5 分数微积分模型FROC

分数微积分模型模型（Fractional order calculus，FROC 模型）由周晓洪教授于 2010 年提出。该模型利用分数微积分（Fractional order calculus）理论对人体组织内异常弥散运动做了详尽的分析，并引入了一组可以描述水分子异常弥散运动的参数。由于 FROC 模型及其应用是整个课题的核心部分，所以下面将概述其数学推导过程及各参数的意义。

如果令 C(x,t)为一维坐标轴上的弥散密度，则可将所得的分数阶偏微分方程代入经典的 Fick’s 第一定律中（公式 1）。

$\frac{\partial^\alpha C(x,t) }{\partial t^\alpha }=D'\frac{\partial^\(2\beta ) C(x,t) }{\partial |x|^2\beta }$ (1)

其中 D’为总弥散系数，其单位为 $mm^{2\beta }/s^{\alpha }$ ，α（0<α≤1）为时间的分数导数，β （0<β ≤1）为空间的分数导数。由此，Bloch-Torrey 方程可通过分数阶转化为:

$\tau ^{\alpha -1} ._{0}^{C}\textrm{D}^{\alpha }_{t}M_{xy}(r,t)=\lambda M_{xy}(r,t)+D\mu^{2(\beta -1)}\Delta ^{2\beta }M_{xy}(r,t)$ 公式（2）

$\lambda =-i.\gamma (r.G)$ 公式（3）

其中， $_{0}^{C}\textrm{D}^{\alpha }_{t}$ 是时间的 Riemann-Liouville 分数导数的 Caputo 符号形式（公式 4）， $\Delta ^{2\beta }=(\Delta _{x}^{2\beta }+\Delta _{y}^{2\beta }+\Delta _{z}^{2\beta })$ 是空间的 Riesz 分数导数的 Laplacian 算符，γ 是旋磁比， $M_{xy}$
表示了横向磁化作用， $\tau ^{\alpha -1}$ 和 $\mu ^{2(\beta -1)}$ 是时间和空间的分数导数常量。分数导数符号 $_{0}^{C}\textrm{D}^{\alpha }_{t}$ 可以进一步表示为：

$_{0}^{C}\textrm{D}^{\alpha }_{t}M_{xy}(r,t)\equiv \frac{1}{\Gamma (1-\alpha )}\int_{0}^{t}\frac{M'_{xy}(r,\tau )}{(t-\tau )^{\alpha }}$ 公式（4）

其中， $M'_{xy}(r,\tau )$ 表示了时间的一阶导数，Γ（1 − α）为伽玛函数，定义为:

$\Gamma (x)=\int_{0}^{\propto }e^{-u}u^{x-1}du$

空间的动态分数阶（如 α=1，0<β ≤1）可通过将横向磁化向量推导为常量、双极、
Stejskal-Tanner 和二次再聚焦的弥散梯度获得。Stejskal-Tanner 弥散梯度可由公式 5
得出：

$M_{xy} = M_{0}e^{[-D\mu ^{2(\beta -1)}(\gamma G_{d}\delta )^{2\beta }(\Delta - \frac{2\beta -1}{2\beta +1}\delta )]}$ 公式（5）

其中，Gd为弥散梯度振幅，δ和Δ为弥散梯度脉冲宽度和梯度分隔。当β = 1时，公式 5 即为经典的单指数函数形式exp⁡(−bD)，空间变量μ即为无效变量。在常规状态下β < 1，μ即为有效变量，而 b 值的常规定义失效。为适应这些变化，重新定义了新参数b*如下：

$b* \equiv (\gamma G_{d}\delta )^{2 }(\Delta - \frac{2\beta -1}{2\beta +1}\delta )]$

由此，公式 5 转化为
$M_{xy} = M_{0}e^{[-D\mu ^{2(\beta -1)}(b*)^{\beta }(\Delta - \frac{2\beta -1}{2\beta +1}\delta )^{1-\beta }]}$ 公式（7）

另于如果定义假弥散系数D*为

$D* = [D^{\frac{1}{\beta }}\mu ^{2(\1-\frac{1}{\beta })}(\Delta - \frac{2\beta -1}{2\beta +1}\delta )^{\frac{1}{\beta }-1}]$ 公式（8）

则公式 7 可转化为拉伸指数模型公式表达形式，见公式 9：
$M_{xy} = M_{0}e^{[-(D*\times b*)^{\beta }]}$ 公式（9）

其中D∗的单位仍为常规弥散系数单位 $mm^{2}/s$ ，类似于 Bennett 等描述的弥散系数分布常量。而当从上述方程导出 $\mu ^{2} = D (\Delta - \frac{2\beta -1}{2\beta +1}\delta )$ 时，D∗即与 D 完全一致。

综上所述，公式 7 为 FROC 模型的核心公式。其模型的建立是基于拉伸指数模型的基础上，但是又比其更细致和深入。同时在 FROC 模型中引入了三个参数：μ、β和 D。D 为弥散系数（Diffusion Coefficient），μ 是空间参数，β 为空间分数导数。为了求得这些参数，我们至少需要 5 个 b 值来反解方程。

Ref: 刘贯中, ，陆建平，周晓洪. 磁共振弥散成像分数微积分模型在儿童脑肿瘤中的临床应用[D].第二军医大学,2012.

6 CTRW (continuous-time random-walk diffusion model )

CTRW模型是单纯随机游走弥散模型（random-walk diffusion model）的一般形式，单纯随机游走弥散模型（random-walk diffusion model）可以认为其弥散位移的均方值和弥散时间之间是成比例的。当为了解释弥散组织的复杂性和异质性时，单纯随机游走弥散模型一般化为CTRW模型，其中弥散运动的跳跃距离（jump distance）和跳跃等待时间（jump waiting time）将不再符合高斯分布。在一般的CTRW模型中，均方位移（mean-square displacement，MSD）可以用下面的公式来表示：

\sim t^{2\alpha /\beta }\equiv t^{\gamma }”>

其中t是弥散的时间，α和β′分布是跳跃等待时间和跳跃距离的概率分布的分数次幂。当α=1，和β′=2（例如γ = 1）该公式退化为高斯分布的MSD。而如果γ > 1 或者γ < 1，这种在流体力学中见到的反常弥散过程又演变为超弥散（super-diffusion）或者亚弥散（sub-diffusion）。在CTRW的理论背景下，在不均匀组织中，与测量的磁化信号强度成比例的水分子的S(x,t) 可以用空间-时间分数阶弥散方程表示如下：

$_{0}^{C}\textrm{D}^{\alpha}_{t}(S(x,t))= D_{\alpha ,\beta`} \frac{\partial^\beta` S(x,t)}{\partial |x|^\beta`}$ 公式（1）

其中 $_{0}^{C}\textrm{D}^{\alpha}_{t}$ 是第 $\alpha$ 分数阶时间导数的Caputo形式，∂β′ /∂|x|β′ 是第β′ 分数阶空间导数的Riesz形式， $D_{\alpha,\beta `}$ 是弥散系数的一般形式（ $\mu m^{\beta }/s^{\alpha }$ ）。在连续极限下，公式（1）一般弥散方程的解可以产生一个用Mittag-Leffler 函数（MLF）表示的信号衰减形式:

$E_{\alpha }(Z)=\sum ^{\propto }_{k=0} \frac{z^{\kappa }}{\Gamma (\alpha \kappa +1)}$ 公式（2）

通过定义β= β′/2, b = q2(Δ − δ/3)，和 $\bar{\Delta }$ = (Δ − δ/3)，δ 和Δ 是Stejskal-Tanner弥散梯度脉冲的宽度和脉冲之间的时间间隔，q 是q-space变量，对于Stejskal-Tanner弥散梯度，公式（1）的解可以y用下式来表示。

$M(q) = M_{0}E_{\alpha }(-D_{1,2}\frac{\tau ^{1- \alpha }}{\mu ^{2-2\beta }}|q|^{2\beta }\bar{\Delta }^{\alpha })$ 公式（3）

其中M是测量到的初始值为 $M_{0}$ 的信号强度。在公式（3）中，Ea是MLF，D1,2是常规弥散系数（mm2/s），μ ( μm) 和 τ (ms) 分别是空间和时间参数，他们也是弥散系数单位的来源和组成。如果用b/Δ̄, Eq替换q2 。公式 (2) 可以写成：

$M(q) = M_{0}E_{\alpha }(-D_{1,2}\frac{\tau ^{1- \alpha }}{\mu ^{2-2\beta }}b^{\beta }\bar{\Delta }^{\alpha -\beta })$ 公式（4）

为了降低估计模型参数的计算复杂度，公式（4）的解通过定义“反常扩散系数” $D_{m}$ ：

$D^{\beta }_{m} \equiv -D_{1,2}\frac{\tau ^{1- \alpha }}{\mu ^{2-2\beta }}\bar{\Delta }^{\alpha -\beta }$

公式（4）可以以MLF的形式写成下面的形式：

$M(b)=M_{0}E_{\alpha }(-(bD_{m})^{\beta })$ 公式（6）

$D_{m}$ 通常称为反常扩散系数，单位是μm2/s ，公式（6）提供了一个简化的数学表达式，在这个表达式中，可以得到类似弥散系数 $D_{m}$ ，和另外两个参数α 和β，可以反映弥散在时间和空间的异质性，该参数提供了一种用来对体素和其周围环境进行量化的方法。

参考文献：Karaman MM, Sui Y, Wang H, Magin RL, Li Y, Zhou XJ. Differentiating low- and high-grade pediatric brain tumors using a continuous-time random-walk diffusion model at high b-values. Magn Reson Med. 2016 Oct;76(4):1149-57. doi: 10.1002/mrm.26012. Epub 2015 Oct 31. PMID: ; PMCID: PMC.

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