时间复杂度与空间复杂度

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前言

*数据结构与算法不分家

一、时间复杂度

1.时间复杂度概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。 

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？ void Func1(int N) { int count = 0; for (int i = 0; i < N ; ++ i) { for (int j = 0; j < N ; ++ j) { ++count; } } for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k) { ++count; } int M = 10; while (M--) { ++count; } printf("%d\n", count); }

 F(n) = N^2 + 2*N + 10

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

2.大O的渐进表示法 

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：
N = 10 F(N) = 100
N = 100 F(N) = 10000
N = 1000 F(N) =
通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示

了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

大O都是进行估算，找最大量级 ，看阶数最高

3.常见时间复杂度计算举例 

1.实例1：O(N)

// 计算Func2的时间复杂度？ void Func2(int N) { int count = 0; for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k) { ++count; } int M = 10; while (M--) { ++count; } printf("%d\n", count); }

2.实例2：O（M+N） 

// 计算Func3的时间复杂度？ void Func3(int N, int M) { int count = 0; for (int k = 0; k < M; ++ k) { ++count; } for (int k = 0; k < N ; ++ k) { ++count; } printf("%d\n", count); }

3.实例3 ：O(1)

// 计算Func4的时间复杂度？ void Func4(int N) { int count = 0; for (int k = 0; k < 100; ++ k) { ++count; } printf("%d\n", count); }

 注意：其中的1不是代表一次，而是常数次

4.计算冒泡：O(N^2) 

// 计算BubbleSort的时间复杂度？ void BubbleSort(int* a, int n) { assert(a); for (size_t end = n; end > 0; --end) { int exchange = 0; for (size_t i = 1; i < end; ++i) { if (a[i-1] > a[i]) { Swap(&a[i-1], &a[i]); exchange = 1; } } if (exchange == 0) break; } }

5. 二分查找 ： O（logn）

// 计算BinarySearch的时间复杂度？ int BinarySearch(int* a, int n, int x) { assert(a); int begin = 0; int end = n-1; // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号 while (begin <= end) { int mid = begin + ((end-begin)>>1); if (a[mid] < x) begin = mid+1; else if (a[mid] > x) end = mid-1; else return mid; } return -1; }

二、空间复杂度

1.空间复杂度概念

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定

。

2.常见空间复杂度 

1.冒泡空间复杂度：O（1） 

// 计算BubbleSort的空间复杂度？ void BubbleSort(int* a, int n) { assert(a); for (size_t end = n; end > 0; --end) { int exchange = 0; for (size_t i = 1; i < end; ++i) { if (a[i-1] > a[i]) { Swap(&a[i-1], &a[i]); exchange = 1; } } if (exchange == 0) break; } }

 2.斐波那契空间复杂度：O（N）

// 计算Fibonacci的空间复杂度？ // 返回斐波那契数列的前n项 long long* Fibonacci(size_t n) { if(n==0) return NULL; long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long)); fibArray[0] = 0; fibArray[1] = 1; for (int i = 2; i <= n ; ++i) { fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2]; } return fibArray; }

总结

了解空间和时间复杂度有以下几个用途：

1. 对算法性能进行评估和比较：空间和时间复杂度是衡量算法性能的重要指标。通过了解算法的空间和时间复杂度，我们可以对不同算法进行评估和比较，选择最优的算法来解决问题。

2. 优化算法：了解空间和时间复杂度可以帮助我们发现算法中的性能瓶颈和不必要的资源消耗。通过优化算法，我们可以减少算法的时间和空间消耗，提高算法的效率。

3. 预估算法运行时间和空间需求：通过空间和时间复杂度，我们可以大致估计算法所需的运行时间和空间。这有助于我们在设计算法时考虑到系统资源的限制和算法的性能需求，避免出现运行过慢或内存溢出等问题。

4. 掌握数据结构和算法：了解空间和时间复杂度可以帮助我们更深入地理解和掌握数据结构和算法。它们是算法分析的基础，也是学习和应用数据结构和算法的基础知识。

总之，了解空间和时间复杂度对于设计、评估和优化算法非常重要，它可以帮助我们更好地理解和应用数据结构和算法。