算两次、贡献法

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目录

一，算两次

1，多对多匹配问题

2，平面剖分问题

3，多重计数问题

4，等价个体互换

力扣 1503. 所有蚂蚁掉下来前的最后一刻

力扣 2731. 移动机器人

二，贡献法

CSU 1799 小Z的黑白棋

力扣 1863. 找出所有子集的异或总和再求和

力扣 2527. 查询数组 Xor 美丽值

力扣 1835. 所有数对按位与结果的异或和

力扣 477. 汉明距离总和

力扣 2063. 所有子字符串中的元音

一，算两次

算两次是指，对同一个组合计数，算出2个不同的表达式，从而推导出2个表达式相等。

1，多对多匹配问题

2，平面剖分问题

3，多重计数问题

4，等价个体互换

力扣 1503. 所有蚂蚁掉下来前的最后一刻

 有一块木板，长度为 n 个 单位 。一些蚂蚁在木板上移动，每只蚂蚁都以 每秒一个单位 的速度移动。其中，一部分蚂蚁向 左 移动，其他蚂蚁向 右 移动。

当两只向 不同 方向移动的蚂蚁在某个点相遇时，它们会同时改变移动方向并继续移动。假设更改方向不会花费任何额外时间。

而当蚂蚁在某一时刻 t 到达木板的一端时，它立即从木板上掉下来。

给你一个整数 n 和两个整数数组 left 以及 right 。两个数组分别标识向左或者向右移动的蚂蚁在 t = 0 时的位置。请你返回最后一只蚂蚁从木板上掉下来的时刻。

示例 1：

提示：

class Solution { public: int getLastMoment(int n, vector<int>& left, vector<int>& right) { int ans = 0; for (int i = 0; i < left.size(); i++)ans = max(ans, left[i]); for (int i = 0; i < right.size(); i++)ans = max(ans, n-right[i]); return ans; } };

力扣 2731. 移动机器人

有一些机器人分布在一条无限长的数轴上，他们初始坐标用一个下标从 0 开始的整数数组 nums 表示。当你给机器人下达命令时，它们以每秒钟一单位的速度开始移动。

给你一个字符串 s ，每个字符按顺序分别表示每个机器人移动的方向。'L' 表示机器人往左或者数轴的负方向移动，'R' 表示机器人往右或者数轴的正方向移动。

当两个机器人相撞时，它们开始沿着原本相反的方向移动。

请你返回指令重复执行 d 秒后，所有机器人之间两两距离之和。由于答案可能很大，请你将答案对 109 + 7 取余后返回。

注意：

• 对于坐标在 i 和 j 的两个机器人，(i,j) 和 (j,i) 视为相同的坐标对。也就是说，机器人视为无差别的。
• 当机器人相撞时，它们 立即改变 它们的前进方向，这个过程不消耗任何时间。
• 当两个机器人在同一时刻占据相同的位置时，就会相撞。
  • 例如，如果一个机器人位于位置 0 并往右移动，另一个机器人位于位置 2 并往左移动，下一秒，它们都将占据位置 1，并改变方向。再下一秒钟后，第一个机器人位于位置 0 并往左移动，而另一个机器人位于位置 2 并往右移动。
  • 例如，如果一个机器人位于位置 0 并往右移动，另一个机器人位于位置 1 并往左移动，下一秒，第一个机器人位于位置 0 并往左行驶，而另一个机器人位于位置 1 并往右移动。

示例 1：

输入：nums = [-2,0,2], s = "RLL", d = 3 输出：8 解释： 1 秒后，机器人的位置为 [-1,-1,1] 。现在下标为 0 的机器人开始往左移动，下标为 1 的机器人开始往右移动。 2 秒后，机器人的位置为 [-2,0,0] 。现在下标为 1 的机器人开始往左移动，下标为 2 的机器人开始往右移动。 3 秒后，机器人的位置为 [-3,-1,1] 。 下标为 0 和 1 的机器人之间距离为 abs(-3 - (-1)) = 2 。 下标为 0 和 2 的机器人之间的距离为 abs(-3 - 1) = 4 。 下标为 1 和 2 的机器人之间的距离为 abs(-1 - 1) = 2 。 所有机器人对之间的总距离为 2 + 4 + 2 = 8 。 

示例 2：

输入：nums = [1,0], s = "RL", d = 2 输出：5 解释： 1 秒后，机器人的位置为 [2,-1] 。 2 秒后，机器人的位置为 [3,-2] 。 两个机器人的距离为 abs(-2 - 3) = 5 。 

提示：

• 2 <= nums.length <= 105
• -2 * 109 <= nums[i] <= 2 * 109
• 0 <= d <= 109
• nums.length == s.length 
• s 只包含 'L' 和 'R' 。
• nums[i] 互不相同。

class Solution { public: int sumDistance(vector<int>& nums, string s, int d) { for(int i=0;i<s.length();i++)if(s[i]=='R')nums[i]+=d;else nums[i]-=d; sort(nums.begin(),nums.end()); long long ans=0; for(int i=1;i<nums.size();i++) ans+=((long long)nums[i]-nums[i-1])*i%*(nums.size()-i)%; return ans%; } };

二，贡献法

贡献法其实也蕴含了算两次的思想。

场景：要求若干项数据的和，而每个数据又可以分解成一些原子数据的和，那么就可以通过求每个原子数据在最终总和中的贡献，从而求出最终总和。

贡献法往往用于，若干项数据不太好求，但原子数据在最终总和中的贡献比较好求的场景。

CSU 1799 小Z的黑白棋

题目：

小Z有一些黑白棋，他觉得黑白混杂在一起极具美感，所以他总喜欢将这些棋子排成一排序列S1，但是小Y就喜欢跟小Z作对，她会趁小Z不注意偷偷将小Z最右边的棋子拿走，往他棋子序列的最左边添加一个白色的棋子形成一个新的序列S2来破坏小Z的美感。

S2(1~n) = 白棋+S1(i=1~n-1)

小Z总相信第一感，他认为他自己最初排好的序列S1是最完美的，新的序列S2会造成一定的破坏美感指数 = damage(S1) = S1与S2有多少个位置黑色与白色互不对应

Exp:

令白棋为a，黑棋为b :S1 = ababa  S2=aabab   damage(S1)=4

因为小Z有很多种摆放序列的方式，现在他希望让你帮他求所有摆放序列的方式会造成的damage(S1)的平均值

Input

多组数据输入输出

每组数据输入一个整数n和m表示白棋和黑棋的数量 0<=n , m<=1000,000,000 , 保证n+m>=1

Output

每组输出一个平均值答案，用最简分数表示，如果可以化简到整数，就用整数表示

Sample Input

3/2

这个题目的思想大约就是富比尼原理了。

n个白棋和m个黑棋有C(m+n,n)种排列。

其中，第一个棋子为黑棋的，有C(m+n-1,n)种

第i（i=1,2,3……m+n-1）个棋子和第i+1个棋子颜色不同的，有2*C(m+n-2,n-1)种

2*C(m+n-2,n-1)*(m+n-1)=2*n*C(m+n-1,n)

所以，本题答案是(1+2*n)*C(m+n-1,n)/C(m+n,n)=(1+2*n)*m/(m+n)

#include<iostream> #include<stdio.h> using namespace std; long long gcd(long long a,long long b) { if(b==0)return a; return gcd(b,a%b); } int main() { int m,n; long long a,b; while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) { a=n+n+1; a*=m; b=m+n; if(a%b==0)printf("%d\n",a/b); else cout<<a/gcd(a,b)<<'/'<<b/gcd(a,b)<<endl; } return 0; }

力扣 1863. 找出所有子集的异或总和再求和

一个数组的 异或总和 定义为数组中所有元素按位 XOR 的结果；如果数组为 空 ，则异或总和为 0 。

• 例如，数组 [2,5,6] 的 异或总和 为 2 XOR 5 XOR 6 = 1 。

给你一个数组 nums ，请你求出 nums 中每个 子集 的 异或总和 ，计算并返回这些值相加之 和 。

注意：在本题中，元素 相同 的不同子集应 多次 计数。

数组 a 是数组 b 的一个 子集 的前提条件是：从 b 删除几个（也可能不删除）元素能够得到 a 。

示例 1：

输入：nums = [1,3] 输出：6 解释：[1,3] 共有 4 个子集： - 空子集的异或总和是 0 。 - [1] 的异或总和为 1 。 - [3] 的异或总和为 3 。 - [1,3] 的异或总和为 1 XOR 3 = 2 。 0 + 1 + 3 + 2 = 6 

示例 2：

输入：nums = [5,1,6] 输出：28 解释：[5,1,6] 共有 8 个子集： - 空子集的异或总和是 0 。 - [5] 的异或总和为 5 。 - [1] 的异或总和为 1 。 - [6] 的异或总和为 6 。 - [5,1] 的异或总和为 5 XOR 1 = 4 。 - [5,6] 的异或总和为 5 XOR 6 = 3 。 - [1,6] 的异或总和为 1 XOR 6 = 7 。 - [5,1,6] 的异或总和为 5 XOR 1 XOR 6 = 2 。 0 + 5 + 1 + 6 + 4 + 3 + 7 + 2 = 28 

示例 3：

输入：nums = [3,4,5,6,7,8] 输出：480 解释：每个子集的全部异或总和值之和为 480 。 

提示：

• 1 <= nums.length <= 12
• 1 <= nums[i] <= 20

思路一：枚举

template<typename T> vector<vector<T>> getAllsubStes(const vector<T>&v) //生成2^n个子集，仅限n<=30的场景 { vector<vector<T>>ans; for (int i = (1 << v.size()) - 1; i >= 0; i--) { vector<int>t; for (int j = 0; j < v.size(); j++)if (i&(1 << j))t.push_back(v[j]); ans.push_back(t); } return ans; } class Solution { public: int subsetXORSum(vector<int>& nums) { vector<vector<int>>v = getAllsubStes(nums); int ans = 0; for (auto &vi : v) { int t = 0; for (auto x : vi)t ^= x; ans += t; } return ans; } };

思路二：

利用组合数学的贡献法，考虑每一位的1在最终结果中的贡献，计算结果是贡献次数要么等于固定值1<< nums.size() – 1，要么等于0。

class Solution { public: int subsetXORSum(vector<int>& nums) { int ans = 0; for (auto x : nums)ans |= x; return ans << nums.size() - 1; } };

力扣 2527. 查询数组 Xor 美丽值

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums 。

三个下标 i ，j 和 k 的 有效值 定义为 ((nums[i] | nums[j]) & nums[k]) 。

一个数组的 xor 美丽值 是数组中所有满足 0 <= i, j, k < n  的三元组 (i, j, k) 的 有效值 的异或结果。

请你返回 nums 的 xor 美丽值。

注意：

• val1 | val2 是 val1 和 val2 的按位或。
• val1 & val2 是 val1 和 val2 的按位与。

示例 1：

输入：nums = [1,4] 输出：5 解释： 三元组和它们对应的有效值如下： - (0,0,0) 有效值为 ((1 | 1) & 1) = 1 - (0,0,1) 有效值为 ((1 | 1) & 4) = 0 - (0,1,0) 有效值为 ((1 | 4) & 1) = 1 - (0,1,1) 有效值为 ((1 | 4) & 4) = 4 - (1,0,0) 有效值为 ((4 | 1) & 1) = 1 - (1,0,1) 有效值为 ((4 | 1) & 4) = 4 - (1,1,0) 有效值为 ((4 | 4) & 1) = 0 - (1,1,1) 有效值为 ((4 | 4) & 4) = 4 数组的 xor 美丽值为所有有效值的按位异或 1 ^ 0 ^ 1 ^ 4 ^ 1 ^ 4 ^ 0 ^ 4 = 5 。

示例 2：

输入：nums = [15,45,20,2,34,35,5,44,32,30] 输出：34 解释：数组的 xor 美丽值为 34 。 

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• 1 <= nums[i] <= 109

思路：

利用组合数学的贡献法，考虑每一位的1在最终结果中的贡献，显然贡献次数要么等于1，要么等于0，经过计算，这只取决于所有数中该位的1的数目的奇偶性。

class Solution { public: int xorBeauty(vector<int>& nums) { int ans = 0; for (int i = 0; i < 30; i++) { int n = 0; for (auto x : nums)n += ((x >> i) & 1); if (n &1)ans += 1 << i; } return ans; } };

力扣 1835. 所有数对按位与结果的异或和

列表的 异或和（XOR sum）指对所有元素进行按位 XOR 运算的结果。如果列表中仅有一个元素，那么其 异或和 就等于该元素。

• 例如，[1,2,3,4] 的 异或和 等于 1 XOR 2 XOR 3 XOR 4 = 4 ，而 [3] 的 异或和 等于 3 。

给你两个下标 从 0 开始 计数的数组 arr1 和 arr2 ，两数组均由非负整数组成。

根据每个 (i, j) 数对，构造一个由 arr1[i] AND arr2[j]（按位 AND 运算）结果组成的列表。其中 0 <= i < arr1.length 且 0 <= j < arr2.length 。

返回上述列表的 异或和 。

示例 1：

输入：arr1 = [1,2,3], arr2 = [6,5] 输出：0 解释：列表 = [1 AND 6, 1 AND 5, 2 AND 6, 2 AND 5, 3 AND 6, 3 AND 5] = [0,1,2,0,2,1] ， 异或和 = 0 XOR 1 XOR 2 XOR 0 XOR 2 XOR 1 = 0 。

示例 2：

输入：arr1 = [12], arr2 = [4] 输出：4 解释：列表 = [12 AND 4] = [4] ，异或和 = 4 。 

提示：

• 1 <= arr1.length, arr2.length <= 105
• 0 <= arr1[i], arr2[j] <= 109

利用组合数学的贡献法，考虑每一位的1在最终结果中的贡献。

class Solution { public: int getXORSum(vector<int>& arr1, vector<int>& arr2) { int s1=0,s2=0; for(auto x:arr1)s1^=x; for(auto x:arr2)s2^=x; return s1&s2; } };

力扣 477. 汉明距离总和

两个整数的 汉明距离 指的是这两个数字的二进制数对应位不同的数量。

给你一个整数数组 nums，请你计算并返回 nums 中任意两个数之间 汉明距离的总和 。

示例 1：

输入：nums = [4,14,2] 输出：6 解释：在二进制表示中，4 表示为 0100 ，14 表示为 1110 ，2表示为 0010 。（这样表示是为了体现后四位之间关系） 所以答案为： HammingDistance(4, 14) + HammingDistance(4, 2) + HammingDistance(14, 2) = 2 + 2 + 2 = 6 

示例 2：

输入：nums = [4,14,4] 输出：4 

提示：

• 1 <= nums.length <= 104
• 0 <= nums[i] <= 109
• 给定输入的对应答案符合 32-bit 整数范围

class Solution { public: int totalHammingDistance(vector<int>& nums) { int mi = 1, ans = 0; for (int i = 0; i < 31; i++) { int num[2] = { 0,0 }; for (auto x : nums)num[((x&mi) > 0)]++; ans += num[0] * num[1]; mi <<= 1; } return ans; } };

力扣 2063. 所有子字符串中的元音

给你一个字符串 word ，返回 word 的所有子字符串中 元音的总数 ，元音是指 'a'、'e'、'i'、'o' 和 'u' 。

子字符串 是字符串中一个连续（非空）的字符序列。

注意：由于对 word 长度的限制比较宽松，答案可能超过有符号 32 位整数的范围。计算时需当心。

示例 1：

输入：word = "aba" 输出：6 解释： 所有子字符串是："a"、"ab"、"aba"、"b"、"ba" 和 "a" 。 - "b" 中有 0 个元音 - "a"、"ab"、"ba" 和 "a" 每个都有 1 个元音 - "aba" 中有 2 个元音 因此，元音总数 = 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6 。 

示例 2：

输入：word = "abc" 输出：3 解释： 所有子字符串是："a"、"ab"、"abc"、"b"、"bc" 和 "c" 。 - "a"、"ab" 和 "abc" 每个都有 1 个元音 - "b"、"bc" 和 "c" 每个都有 0 个元音 因此，元音总数 = 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 = 3 。

示例 3：

输入：word = "ltcd" 输出：0 解释："ltcd" 的子字符串均不含元音。

示例 4：

输入：word = "noosabasboosa" 输出：237 解释：所有子字符串中共有 237 个元音。 

提示：

• 1 <= word.length <= 105
• word 由小写英文字母组成

class Solution { public: long long countVowels(string word) { long long ans = 0, len = word.length(); for (int i = 0; i < len; i++) { if (word[i] == 'a' || word[i] == 'e' || word[i] == 'i' || word[i] == 'o' || word[i] == 'u')ans += i * (len - 1 - i) + len; } return ans; } };