曲线与曲面积分

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一 曲线积分

1.1 第一类(弧长)

背景

曲线的质量

概念与性质

定义 小s表线
$${\int }_{L}f(x,y)ds=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta s_i$$
意义（可知与方向无关）

数值上==有向柱面面积，但被积函数恒为1时，数值等于曲线长度

性质

​ 线性

$ \int_{L}[{f(x, y)} \pm g(x, y)] d s=\int_{L} {f(x, y)} d s \pm \int_{L} g(x, y) d s $

$ \int_{L} k \cdot {f(x, y)} d s=k \int_{L} {f(x, y)} d s \quad(k $为常数$ ) $

$ \int_{L_{1}+L_{2}} {f(x, y)} d s=\int_{L_{1}} {f(x, y)} d s+\int_{L_{2}} {f(x, y)} d s $

$ \int_{L} d s=s=L $的弧长

​ 奇偶性

​ 轮换对称性

计算方法

步骤：边界代入—对称性相加除以2—奇偶性得两倍或消除部分—直(极)坐标或参数方程。存在圆的方程时候考虑转化为参数方程

特殊代替

【例题】

定积分法

步骤：检查边界方程能否代入被积函数—奇偶性对称性—转换为恰当形式（直角坐标、参数方程 ）

直接坐标法
$${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f[x,y(x)]\sqrt{1+y^{{}^{\prime }}(x)}dx$$

参数方程法

L 由极坐标给出: $\rho =\rho (\theta ),\alpha \le \theta \le \beta$ ,则
$${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f[\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ]\sqrt{{\rho }^2(\theta )+({\rho }^{\prime }(\theta ){)}^2}d\theta$$
空间曲线下参数法
$${\int }_{L}f(x,y,z)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f[x(t),y(t),z(t)]\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)}dt$$
直线化为参数方程的方法 880 例题6

圆的极坐标

【例题】2018数一

1.2 第二类(坐标)

背景

​ 做功问题（不能认为没有位移，做功就是0）

概念与性质

定义

公式

意义

​ 几何 (第一型曲线积分分别对x、y坐标轴取积分，在x轴与y轴取不同的函数便得到了第二型曲线积分)

​ 物理 流量平面

https://zhuanlan.zhihu.com/p/

性质 (二维空间为例)
$$\begin{array}{l}{\int }_{L_1+L_2}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_{L_1}P(x,y)dx+Q(x,y)dy+{\int }_{L_2}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\\ \\ {\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=-{\int }_{-L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\text{ 物理解释: }W={\int }_{-L}F\cdot d\vec{r}=-{\int }_{L}F\cdot d\vec{r}\end{array}$$

路径无关

等价命题

注意

​ 与路径无关不能说明该积分为0，而是区域D的封闭曲线C的第二类(坐标)曲线积分为0。

​ D为单连通区域，若是复连通则结论不可用。

• 证明（三种情形）
  • X型+Y型
  • 封闭曲线
  • 按段光滑闭曲线

略…

注解

​ 因为积分与路径无关了，所以我们可以选择任意适合计算的路径进行积分（一般可以选择水平+垂直，这样积分时可固定 x₀，y₀）
$$\begin{array}{rl}{\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y& ={\int }_{\left(x_0,y_0\right)}^{\left(x_1,y_1\right)}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{x_0}^{x_1}P\left(x,y_0\right)\mathrm{d}x+{\int }_{y_0}^{y_1}Q\left(x_1,y\right)\mathrm{d}y\end{array}$$
对P积分时候y₀是确定且固定的，对Q进行积分时候x₁是固定的且是确定的，可化简计算

凑微分法 恰当微分方程、积分因子？
$$\begin{array}{l}\text{ 若 }\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y},\text{ 且存在 }u(x,y),\text{ 使得 }\mathrm{d}u(x,y)=P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y,\text{ 则 }\\ \begin{array}{rl}{\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y& ={\int }_{\left(x_0,y_0\right)}^{\left(x_1,y_1\right)}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y\\ & ={u(x,y)|}_{\left(x_0,y_0\right)}^{\left(x_1\cdot y_1\right)}=u\left(x_1,y_1\right)-u\left(x_0,y_0\right)\end{array}\end{array}$$
【例题】

计算方法

封闭且可偏导则格林，是否路径无关？直接算或补线用格林

定积分

​ 参数方程

​ 直线方程 L=f(x)，起点x=a，终点x=b
∫ 1. P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ a b { P [ x , φ ( x ) ] + Q [ x , φ ( x ) ] φ ′ ( x ) } d x \int_{1.} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_{a}^{b}\left\{P[x, \varphi(x)]+Q[x, \varphi(x)] \varphi^{\prime}(x)\right\} \mathrm{d} x ∫1.​P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫ab​{
P[x,φ(x)]+Q[x,φ(x)]φ′(x)}dx
​ 参数方程

$\begin{array}{rl}& {\int }_{L}P(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)\mathrm{d}z\\ =& {\int }_a^{\beta }\left[P(x(t),y(t),z(t))x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y^{\prime }(t)+R(x(t),y(t),z(t))z^{\prime }(t)\right]\mathrm{d}t\end{array}$

【例题】2011数一

【例题】2015数一

公式法

格林公式 二维

​ 沿封闭曲线 C 的线积分与以 C 为边界的平面区域 D 上的双重积分的联系

【例题】

【例题】化空间为平面然后用格林

斯托克斯公式 三维

【例题】2011数一

二 曲面积分

2.1 第一类(面积)

背景

​ 空间曲面的质量(类比二重积分、一型曲线，线的质量)

概念与性质

定义 大S表面积，显然与曲面的方向无关
$${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i\right)\Delta S_i$$

性质

​ 线性

(1). ${\iint }_{\Sigma }[f(x,y)\pm g(x,y)]dS={\iint }_{\Sigma }f(x,y)dS\pm {\iint }_{\Sigma }g(x,y)dS$

(2). ${\iint }_{{\Sigma }_1+{\Sigma }_2}f(x,y,z)dS={\iint }_{{\Sigma }_1}f(x,y,z)dS+{\iint }_{{\Sigma }_2}f(x,y,z)dS$

(3). ${\iint }_{\Sigma }dS=S=$曲面的面积

​ 奇偶性（只给出一个面，剩余两个同理）

​ 对称性（面是球方程时，类比 y=x 的曲线积分）

计算方法

思路：看能不能特殊替换—投影—对称性奇偶性，注意对称性可能要经过平移—极坐标方程

特殊代替

​ 把曲面方程代入到被积函数里面，简化计算。

【例题】

上面用到了向量积的几何意义是平面四边形的面积，三角形要一半

二重积分法

思想：”以直代曲“，注意微元。注意投影下来的区域不能有重复，熟练之后可以不画出投影直接计算

证明

$$\begin{gathered} \because \delta /A=\cos \gamma \therefore A=\frac{1}{\cos \gamma }\delta \\ \vec{n}=(F^{\prime }x,F^{\prime }y,F^{\prime }z),\vec{k}=(0,0,1) \\ \cos \gamma =\cos <\vec{n},\vec{k}>=\left|\frac{\vec{n}\times \vec{k}}{\left|\vec{n}\right|\times \left|\vec{k}\right|}\right|=\left|\frac{F^{\prime }z}{\sqrt{F^{\prime }{x}^2+F^{\prime }{y}^2+F^{\prime }{z}^2}}\right| \\ \because Z^{\prime }x=-\frac{F^{\prime }x}{F^{\prime }z}{Z}^{\prime }y=-\frac{F^{\prime }y}{F^{\prime }z}\therefore \cos \gamma =\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial z}{\partial y}{)}^2}} \\ \therefore dA=\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial z}{\partial y}{)}^2}d\delta =\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial z}{\partial y}{)}^2}dxdy \end{gathered}$$

【例题】 第四卦限，x＞0，z＞0，y < 0，进而得到x、y的投影区域

2.2 第二类(坐标)

背景

流量问题

概念与性质

定义 单位时间经过指定侧的曲面的流量

注意有方向性，例如一个球体，被积函数为|x|，则在前半部分流量是出去的，为正；在后半球面，由于有绝对值，流量是进去的，为负；这样总体的流量就是0。这里的S的带方向的

性质

线性与方向性，要理解实际意义，这样才能更好的应用对称性

对称性 注意奇倍偶零，应该是dxdy的方向性导致的问题，先记住。出去为正则进入内部为负。

计算方法

思路：画图看对称性奇偶性消除部分参数—补面用高斯或直接投影

二重积分法

第二类-第一类-投影D上的二重积分

【例题】注意y的奇偶性

转换投影

​ 若z=z(x,y)，则F = z-z(x,y) 或 F=z(x,y)-z ，看法向量方向。则有平面法向量 : n ‾ = { c o s α ， c o s β ， c o s γ } = { F x ′ ， F y ′ ， F z ′ } = { z x ′ ， z y ′ ， − 1 } 或  { − z x ′ ， − z y ′ ， 1 } \overline n = \{cos α，cosβ，cosγ\} = \{F’_x，F’_y，F’_z\} = \{z’_x，z’_y，-1\} 或 \ \{-z’_x，-z’_y，1\} n={
cosα，cosβ，cosγ}={
Fx′​，Fy′​，Fz′​}={
zx′​，zy′​，−1}或 {
−zx′​，−zy′​，1}。若将S投影到yOz面、xOz面上计算二重积分较困难,可以利用转换公式将其转化到xOy面上进行计算，有
$$\frac{\mathrm{d}y\mathrm{d}z}{\cos \alpha }=\frac{\mathrm{d}z\mathrm{d}x}{\cos \beta }=\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\cos \gamma }=\mathrm{d}S$$
。由此可得$ dydz=- z’_x* dxdy, dzdx=- z’_y*dxdy$ 化为二型曲【谁是因变量谁求导，d缺谁乘谁的-偏导】也可以用dS化为一型，记得要单位化

【例题】

高斯公式

联系封闭曲面与三重积分的关系

【例题】补面凑高斯，补面之后通常有部分积分函数是0，不用计算

外侧与上侧

https://www.zhihu.com/question//answer/

2.3 联系

两类曲面积分的联系: ${\iint }_{\Sigma }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\mathrm{d}S={\iint }_{\Sigma }(P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y)$

【例题】

$\text{ 计算 }\iint \left(x^3\cos \alpha +y^3\cos \beta +z^3\cos \gamma \right)\mathrm{d}S\text{, 其中 }S:x^2+y^2+z^2=R^2\text{, 取外侧 }$

【解】由两类曲面积分之间的关系得

$\begin{array}{l}\iint \left(x^3\cos \alpha +y^3\cos \beta +z^3\cos \gamma \right)\mathrm{d}S=\iint x^3\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y^3\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z^3\mathrm{d}x\mathrm{d}y\text{, }\\ \text{ 而 }\iint x^3\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y^3\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z^3\mathrm{d}x\mathrm{d}y=3{\iiint }_{\Omega }\left(x^2+y^2+z^2\right)\mathrm{d}v\\ =3{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^x\mathrm{d}\phi {\int }_0^R{r}^4\sin \phi \mathrm{d}r=\frac{12\pi R^5}{5}\text{, }\\ \text{ 所以 }{\oint }_S\left(x^3\cos x+y^3\cos \beta +z^3\cos \gamma \right)\mathrm{d}S=\frac{12\pi R^5}{5}\text{. }\end{array}$

注意不能把 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 代入三重积分，因为三重积分是对Ω的内部进行积分，而R²只是在表面才符合。重积分都不能代入，因为是在内部积分的，线面才可能可以代入。

2020真题

三 格林公式

作用：二维空间沿封闭曲线C的线积分 与 以C 为边界的平面区域D的双重积分 的 联系

两种连通区域

正向边界曲线

​ 当观察者沿着L的正向行走时，D总在他左侧（正向边界曲线可以为顺时针或逆时针），如图11.9和11.10中箭头所示所示。

定理 （圆圈代表积分曲线是封闭曲线）

注意：要确保P、Q在区域D内有一阶连续偏导(原点是奇点不可偏需挖去)；连通的区域可以是单连通也可以是多连通（意味着可以补区域使得它连通）

应用

• （记住该结论）格林公式 把 封闭曲线积分转换为 区域面积积分

• 多边形面积
• 逆运用 计算二重积分

注意计算偏导时不要忘记积分函数本身的正负号，及曲线的正负号。

【例题】 （补线 变为封闭曲线）

https://www.zhihu.com/question/

当两个偏导相同，挖奇点的，奇点的二型曲线积分很可能是 2Π

四 斯托克斯

格林公式的三维情况

三维空间对坐标的闭合曲线积分的计算 转换为 曲面积分 进行计算

方向由右手准则确定

背景

​ 这个公式的产生是为了计算物理中的磁场通量，即电场产生磁场，规定线圈逆时针为正方向，用右手定律可知z方向为磁通量正方向，而磁通量可以按照曲面形状分别投影到三个坐标平面进行求取，即三个坐标平面的投影面积乘上相对应的磁通量分量

公式

${\oint }_{L}Pdx+Qdy+Rdz$
$={\iint }_S\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$
$={\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|dS={\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}dydz& dzdx& dxxdy\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$

是平面时候，角度是固定的，用cos，第一型曲面积分（若平行xoy可以直接格林）法向量要单位化；是曲面时候用第二型曲面积分，变成第二型曲面积分后可以继续补面高斯。

【例题】

应用

https://www.zhihu.com/question//answer/

五 高斯公式

高斯公式是斯托克斯公式的特殊形式 ，曲面积分转换为三重积分

基本定理

注意：需要具有连续一阶偏导数，真题09年不可使用

【例题】

$\begin{array}{l}\text{ 计算 }\iint x{z}^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\left(x^{2}y-z^3\right)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+\left(2xy+y^{2}z\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,\text{ 其中 }\Sigma \text{ 为 }z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\text{ 和 }\\ z=0\text{ 围成区域的表面外侧. }\end{array}$
【解】由高斯公式得$ \oiint_{\Sigma} x z ^ { 2 } dydz + ( x ^ { 2 } y – z ^ { 3 } ) dzdx + ( 2xy + y ^ { 2 } y ) dxdy$

$={\iiint }_{\Omega }\left(x^2+y^2+z^2\right)\mathrm{d}v={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}\phi {\int }_0^a{r}^4\sin \phi \mathrm{d}r=\frac{2\pi }{5}{a}^5$

无源场

实质是高斯公式，简化一点步骤而已

【例题】2009数一 无源场divF=0，此时三个偏导相加=0，补一个面高斯为0，则原曲面积分即为该补充的面的负积分，通常比较好计算。有奇点，挖去，并令挖去的那个方程可连续偏导从而用两次高斯 880 18

【例题】

六 基本题型

椭圆面积 Πab，椭圆体 4/3Πabc

有圈代表是封闭曲线

曲线

弧长

1. 特殊代替

2. 参数方程

【例题】

对坐标轴

1. 参数方程 / 格林公式

3 880基础解答题4

路径无关

恰当微分方程

2. 格林公式（C_r里面x²+4y²=r²是已知的，也可用椭圆面积公式Πab）

曲面

面积

第二类

注意xz时转换为2倍

【例题】2011数一 三种方法

总结

两类曲线积分的区别与联系

物理意义：一个是线的质量、一个是做功，做功有正负，质量没有

联系：dx = ds cosα，可联系两种线积分

曲线

$\mathrm{d}x=\mathrm{d}s\cdot \cos \alpha ,\mathrm{d}y=\mathrm{d}s\cdot \cos \beta$
$\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_L[P(x, y) \cos \alpha+Q(x, y) \cos \beta] \mathrm{d}s $

方向

封闭曲线 那做功不是0吗 为什么是Q=P时候才是0？变力做功，虽然起点终点相同，但做功仍然不为0？https://www.zhihu.com/question//answer/