一、数学建模层次分析法（AHP）【清风数学建模个人笔记】

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目录

层次分析法（AHP）：

解决评价列问题三个方面：

评价类问题权重表格：

一致矩阵

一致性检验（用到高代知识）

一致矩阵计算权重

若判断矩阵为一致矩阵：

矩阵为非一致矩阵

 方法1算术平均法求权重:

 方法二几何平均法求权重：

方法3特征值法求权重

 得出结果         

层次分析法做题步骤： 

层次分析法局限性

代码讲解

代码可以优化的地方

模型拓展​

层次分析法（AHP）：

层次分析法主要用于解决评价类问题（例如：选择哪种方案更好、哪位员工、运动员等表现得更优秀【确定评价指标、形成评价体系】）

解决评价列问题三个方面：

1. 我们评价的目标是什么？（分析题目）
2. 我们为了达到这个目标有哪几种可选择方案？（分析题目）
3. 评价的准则或指标是什么？（题目中的背景材料、常识、参考文献以及搜索）

评价类问题权重表格：

1. 分析问题得出评判问题的子标
2. 分别给不同子标赋予权重（权重和要为1）
3. 给不同方案对应不同子标给予打分（不同方案对于每个子标打分和要为1） 

例如选择某个学校：

华科最终得分：0.515

0.7 * 0.4 * + 0.5 * 0.3 + 0.3 * 0.2 + 0.25 * 0.1

武大最终得分：0.485

0.3 * 0.4 + 0.5 * 0.3 + 0.7 * 0.2 + 0.75 * 0.1

 那如何得出指标权重？（层次分析法思想登场）

有多个指标的时候，我们一次性考虑五个指标之间的关系，往往考虑不周，为了更加准确的得出五个指标的权重，我们采用两两比较的方法，最终根据两两比较的结果推算出权重。这时就用到了下方的重要程度表（重要程度也可以理解为满意度）

 例如选择某个旅游景点：

共五个指标【两两相比组合数C(5,2)】，后面会介绍具体如何填写这张表

上述左表中的数据部分是一个5 * 5的方阵，我们计为A，对应元素为

方阵特点：

（1）表示的意义是，与指标j相比，i的重要程度。

（2）当i = j时，两个指标相同，因此同等重要记为1，这就解释了主对角线元素为1.

（3） > 0 且满足 *  = 1(我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵)

 实际上这个矩阵就是层次分析法中的判断矩阵

 同样的我们可以得到如下表格

一个可能出现问题的地方：

此时引入一个概念——一致矩阵（绝对一致是不太好实现的，我们要把一致性控制在一个程度内）

一致矩阵

若矩阵中每个元素  > 0 且满足 *  = 1 ，则我们称该矩阵为正互反矩阵。 在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。 若正互反矩阵满足，则我们称其为一致矩阵。推导如下：

特点：各行（各列）成倍数关系【判断一致矩阵方法】,只要各行（各列）成倍数关系就是一致矩阵

例如下图：图中一致矩阵 ， 以此类推都满足倍数关系

在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验，若不一致程度太大，判断矩阵失效

下面给出两个矩阵，左表为不一致矩阵，右表为一致矩阵

可见这两者的区别有a13从5变成了4，呢么如何判断5和4的差距大不大呢？这是就需要用到一致性检验。

一致性检验（用到高代知识）

原理：检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的差别

为一致性矩阵的充要条件：

引理1：

A为n阶方阵，且r(A) = 1，则A有一个特征值为tr(A)，其余特征值均为0

因为一致矩阵有一个特征值为n，所以一致矩阵的秩一定为1

由引理可知：一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值均为0.

另外，易知，特征值为n时，对应的特征向量为

 引理2：

n阶正互反矩阵A为一致矩阵时当且仅当最大特征值，且当正互反矩阵A非一致时，一定满足

如下图，我们设要检验的变量为a,由右表知当判断矩阵越不一致的时，最大特征值与n相差就越大（检验矩阵与一致矩阵相差大不大其实就是检验最大特征值与n相差大不大）

一致性检验步骤：

1. 计算一致性指标CI
2. 查找对应的平均随机一致性指标RI
   

   注：在实际应用中，n很少超过10，若指标个数超过10，则可以考虑建立二级指标体系

   n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
   RI	0	0	0.52	0.89	1.12	1.26	1.36	1.41	1.46	1.49	1.52	1.54	1.56	1.58	1.59

3. 计算一致性比例CR，如果CR<0.1，则可以认为矩阵的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修正（手动往倍数方面改）

至于一致性指标RI是怎么计算来的，为什么这样构造CI以及为什么一0.1为划分依据并不需要了解透彻，实际做题中不需要知道为什么。

一致矩阵计算权重

若判断矩阵为一致矩阵：

例如：

 有由此图可知，苏杭在景色方面重要程度为1，北戴河在景色方面重要程度为1/2，桂林在景色方面重要程度为1/4.

注意，权重处理一定要进行归一化理：

苏杭 = 1/（1+0.5+0.25）

北戴河= 0.5/（1+0.5+0.25）

桂林= 0.25/（1+0.5+0.25）

 因为是一致性矩阵，所以用第一列和用其他列计算结果是一样的

矩阵为非一致矩阵

 方法1算术平均法求权重:

1. 将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和后得到的新的判断矩阵）
2. 将归一化后的矩阵按行求和得到一个列向量
3. 将第二部中的列向量中的每个元素除以n即可得到权重向量

数学描述 ：

例如：

归一化：

苏杭 = 1/(1+0.5+0.2) = 0.5882

北戴河 = 0.5/(1+0.5+0.2) = 0.2941

桂林 = 0.2/(1+0.5+0.2) = 0.1177

同样的方法将整个表格归一化

 方法二几何平均法求权重：

步骤（和方法一步骤大致相同）：

1. 将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
2. 将新的向量的每个分量开n次方
3. 对该列向量进行归一化即可得到权重向量

 数学描述

方法3特征值法求权重

一致矩阵有一个特征值n，其余特征值均为0.

另外，我们很容易得到，特征值为n时，对应的特征向量刚好为（k!=0）,这一特征向量刚好就是一致矩阵的第一列。

步骤

1. 求出矩阵A的最大特征值以及对应的特征向量
2. 对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重

 得出结果         

计算 出各个表格的权重后，得到如下表格

通过Excel计算得出各个景点的的得分（F4锁定单元格）

层次分析法做题步骤： 

1. 分析系统中个因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构（层次结构图要放到论文里）
2. 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性两两比较，构造两两比较矩阵（判断矩阵）【任何评价类模型都具有主观性，现实中都是自己填写判断表】
3. 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（检验通过之后权重才能使用）【最好三种检验方法都算一下】

使用SmartArt画层次结构图 ，使用亿图图示画层次结构图

层次分析法局限性

（1）评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大

（2）如果决策层中指标的数据是已知的，就不能用层次分析法了

代码讲解

%% 注意：在论文写作中，应该先对判断矩阵进行一致性检验，然后再计算权重，因为只有判断矩阵通过了一致性检验，其权重才是有意义的。 %% 在下面的代码中，我们先计算了权重，然后再进行了一致性检验，这是为了顺应计算过程，事实上在逻辑上是说不过去的。 %% 因此大家自己写论文中如果用到了层次分析法，一定要先对判断矩阵进行一致性检验。 %% 而且要说明的是，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验。 %% 如果你的判断矩阵本身就是一个一致矩阵，那么就没有必要进行一致性检验。 %% 输入判断矩阵 clear;clc disp('请输入判断矩阵A： ') %1、输入前可以判断A的维度是否大于1或是否为方阵 % % A = input('判断矩阵A=') A =[1 1 4 1/3 3; 1 1 4 1/3 3; 1/4 1/4 1 1/3 1/2; 3 3 3 1 3; 1/3 1/3 2 1/3 1] % matlab矩阵有两种写法，可以直接写到一行: % [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1] % 也可以写成多行: [1 1 4 1/3 3; 1 1 4 1/3 3; 1/4 1/4 1 1/3 1/2; 3 3 3 1 3; 1/3 1/3 2 1/3 1] % 两行之间以分号结尾（最后一行的分号可加可不加），同行元素之间以空格（或者逗号）分开。 %% 方法1：算术平均法求权重 % 第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和） Sum_A = sum(A) [n,n] = size(A) % 也可以写成n = size(A,1) % 因为我们的判断矩阵A是一个方阵，所以这里的r和c相同，我们可以就用同一个字母n表示 SUM_A = repmat(Sum_A,n,1) %repeat matrix的缩写 % 另外一种替代的方法如下： '''SUM_A = []; for i = 1:n %循环哦，这一行后面不能加冒号（和Python不同），这里表示循环n次 SUM_A = [SUM_A; Sum_A] end''' clc;A SUM_A Stand_A = A ./ SUM_A % 这里我们直接将两个矩阵对应的元素相除即可 % 第二步：将归一化的各列相加(按行求和) sum(Stand_A,2) % 第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量 disp('算术平均法求权重的结果为：'); disp(sum(Stand_A,2) / n) % 首先对标准化后的矩阵按照行求和，得到一个列向量 % 然后再将这个列向量的每个元素同时除以n即可（注意这里也可以用./哦） %% 方法2：几何平均法求权重 % 第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量 clc;A Prduct_A = prod(A,2) % prod函数和sum函数类似，一个用于乘，一个用于加 dim = 2 维度是行 % 第二步：将新的向量的每个分量开n次方 Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n) % 这里对每个元素进行乘方操作，因此要加.号哦。 ^符号表示乘方哦 这里是开n次方，所以我们等价求1/n次方 % 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量 % 将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和即可 disp('几何平均法求权重的结果为：'); disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A)) %% 方法3：特征值法求权重 % 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量 clc [V,D] = eig(A) %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵（除了对角线元素外，其余位置元素全为0） Max_eig = max(max(D)) %也可以写成max(D(:))哦~【max(D)得到每一列的最大值】 % 那么怎么找到最大特征值所在的位置了？ 需要用到find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。 % 那么问题来了，我们要得到最大特征值的位置，就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中，不等于最大特征值的位置全变为0 % 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算 D == Max_eig [r,c] = find(D == Max_eig , 1)%【D == Max_eig（判断语句），返回一个逻辑及矩阵，将最大特征值所在位置变为1，其余位置为0】 % 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置，记录它的行和列。 % 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重 V(:,c) disp('特征值法求权重的结果为：'); disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) ) % 我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量，然后再进行标准化。 %% 计算一致性比例CR clc CI = (Max_eig - n) / (n-1); RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15【RI为已知表】 %当n=2时，该表一定是一致矩阵，但是因为RI为0.此时计算CR时分母为0，按照步骤一致性检验时会显示不通过，所以我们可以把RI表中的前两位改为很接近0的正数（0.00001） CR=CI/RI(n);%RI(n)代表RI中第n个元素 disp('一致性指标CI=');disp(CI); disp('一致性比例CR=');disp(CR); if CR<0.10 disp('因为CR < 0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!'); else disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!'); end

代码可以优化的地方

%输入之前可以先判断一下输入是否正确 disp('请输入判断矩阵A') A=input('A=');% 这里输入的就是我们的判断矩阵，其为n阶方阵（行数和列数相同） % 在开始下面正式的步骤之前，我们有必要检验下A是否因为粗心而输入有误 ERROR = 0; % 默认输入是没有错误的 %(1)检查矩阵A的维数是否不大于1或不是方阵 [r,c]=size(A); %size(A)函数是用来求矩阵的大小的,返回一个行向量，第一个元素是矩阵的行数，第二个元素是矩阵的列数 %[r,c]=size(A) %将矩阵A的行数返回到第一个输出变量r，将矩阵的列数返回到第二个输出变量c if r ~= c || r <= 1 % 注意哦，不等号是 ~= (~是键盘Tab上面那个键，要和Shift键同时按才会出来)，别和C语言里面的!=搞混了 % ||表示逻辑运算符‘或’（在键盘Enter上面，也要和Shift键一起按） 逻辑运算符且是 && （&读and，连接符号，是and的缩写。 ） ERROR = 1; end %(2)检验是否为正互反矩阵 a_ij > 0 且 a_ij * a_ji = 1 if ERROR == 0 [n,n] = size(A); % 因为我们的判断矩阵A是一个非零方阵，所以这里的r和c相同，我们可以就用同一个字母n表示 % 判断是否有元素小于0 % for i = 1:n % for j = 1:n % if A(i,j)<=0 % ERROR = 2; % end % end % end if sum(sum(A <= 0)) > 0%用逻辑矩阵的方法更方便，逻辑矩阵中元素要么全为0，要么有若干个1 ERROR = 2; end end %顺便检验n是否超过了15，因为RI向量为15维 if ERROR == 0 if n > 15 ERROR = 3; end end if ERROR == 0 % 判断 a_ij * a_ji = 1 是否成立 if sum(sum(A' .* A ~= ones(n))) > 0 ERROR = 4; end % A' 表示求出 A 的转置矩阵，即将a_ij和a_ji互换位置 % ones(n)函数生成一个n*n的全为1的方阵, zeros(n)函数生成一个n*n的全为0的方阵 % ones(m,n)函数生成一个m*n的全为1的矩阵 % MATLAB在矩阵的运算中，“/”号和“*”号代表矩阵之间的乘法与除法，对应元素之间的乘除法需要使用“./”和“.*” % 如果a_ij * a_ji = 1 满足， 那么A和A'对应元素相乘应该为1 end if ERROR == 0 % % % % % % % % % % % % %方法1： 算术平均法求权重% % % % % % % % % % % % % ..... % % % % % % % % % % % % %方法2： 几何平均法求权重% % % % % % % % % % % % % ..... % % % % % % % % % % % % %方法3： 特征值法求权重% % % % % % % % % % % % % ..... % % % % % % % % % % % % %计算一致性比例CR的环节% % % % % % % % % % % % % ..... elseif ERROR == 1 disp('请检查矩阵A的维数是否不大于1或不是方阵') elseif ERROR == 2 disp('请检查矩阵A中有元素小于等于0') elseif ERROR == 3 disp('A的维数n超过了15，请减少准则层的数量') elseif ERROR == 4 disp('请检查矩阵A中存在i、j不满足A_ij * A_ji = 1') end 

模型拓展

字太多了，不想写了