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设w1 + w2 + … + wn = 1 (wi ≥0,) , xi＞0；
则有x1*w1 + x2*w2 + … +xn*wn ≥ x1^w1 * x2^w2 * …* xn^wn
证明过程
设f(x) = ln x
∵f'(x) = 1/x;
∴恒有f'(x) ＞ 0;
∴f(x)单调递增
令 G(x) = f'(x) 则G'(x) = – 1/x²;
∴f'(x)单调递减
∴f(x) 是凸函数
由加权形式的Jensen不等式可得
∴ln(x1*w1 + x2*w2 + … + xn*wn) ≥ w1*ln(x1) + w2*ln(x2) + … +wn*ln(xn)
=ln(x1^w1 * x2^w2 * …* xn^wn)
由于f(x)是增函数
∴x1*w1 + x2*w2 + … +xn*wn ≥ x1^w1 * x2^w2 * …* xn^wn等号成立条件n=1或x1 = x2 = … = xn
当 w1 = w2 = … = wn时是均值不等式
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