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首先明确几个定义：(1) 超平面是指n维线性空间中维度为n-1的子空间。它可以把线性空间分割成不相交的两部分。比如二维空间中，一条直线是一维的，它把平面分成了两块；三维空间中，一个平面是二维的，它把空间分成了两块。(2) 法向量是指垂直于超平面的向量。
在 
空间中，假如有法向量 
，过原点的平面内任意原点出发的向量 
必然与之满足
。如果平面沿着法向量的方向上下平移了，那么这个方程就不成立了。
我们假设平移之后平面经过
，平面内任意一点记为
，法向量记为
，如下图。
不难看出，
在平面内，当然也就和法向量垂直。于是我们有：
化简后得：
即 
。由于其为常数项，令
，于是超平面的公式可以写成：
1. 这个结论同样适用于 
空间； 2. 无论超平面如何平移，系数始终是法向量
。
点到超平面的距离
上图中
是平面外的一点。我们要求的距离记为 ，也就是红色的线段。根据三角函数可以得到： 
（空间中一点向超平面作垂线，
只能是锐角，不必担心正负）。因为
肯定和法向量平行，所以这样来算夹角： 
（因为法向量可能反向，所以给等式左边加上绝对值），联立得：
因为 
在超平面内，
，于是最后得到的任意点到超平面的距离公式：
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