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函子(Functor)
给定两个范畴 C , D \mathcal C,\mathcal D C,D,函子(functor)是一个函数 T : C → D T:\mathcal C \to \mathcal D T:C→D,满足
- 如果对象 A ∈ o b j ( C ) A \in obj(\mathcal C) A∈obj(C),那么 T ( A ) ∈ o b j ( D ) T(A) \in obj(\mathcal D) T(A)∈obj(D),函子将对象映射到对象。
- 如果态射 f : A → A ′ f: A \to A’ f:A→A′在范畴 C \mathcal C C里,那么 T ( f ) : T ( A ) → T ( A ′ ) T(f): T(A) \to T(A’) T(f):T(A)→T(A′)在范畴 D \mathcal D D里,函子将态射映射到态射。
- 如果 A ⟶ f A ′ ⟶ g A ′ ′ A \overset{f}{\longrightarrow} A’ \overset{g}{\longrightarrow} A” A⟶fA′⟶gA′′在范畴 C \mathcal C C里,那么
T ( A ) ⟶ T ( f ) T ( A ′ ) ⟶ T ( g ) T ( A ′ ′ ) T(A) \overset{T(f)}{\longrightarrow} T(A’) \overset{T(g)}{\longrightarrow} T(A”) T(A)⟶T(f)T(A′)⟶T(g)T(A′′)
在范畴 D \mathcal D D里,并且满足
T ( g f ) = T ( g ) T ( f ) T(gf) = T(g)T(f) T(gf)=T(g)T(f)
函子是范畴之间的同态。 - 对于任意的对象 A ∈ o b j ( C ) A \in obj(\mathcal C) A∈obj(C),都有
T ( 1 A ) = 1 T ( A ) T(1_A) = 1_{T(A)} T(1A)=1T(A)
函子保持恒等态射。
性质:如果 T : C → D T: \mathcal C \to \mathcal D T:C→D是一个函子,并且态射 f f f是 C \mathcal C C上的同构(equivalence),那么 T ( f ) T(f) T(f)就是 D \mathcal D D上的一个同构。函子保持同构态射。
例子
- 范畴 C \mathcal C C,那么恒等函子(identity functor) 1 C : C → C 1_\mathcal C: \mathcal C \to \mathcal C 1C:C→C定义为
1 C ( A ) = A , ∀ A ∈ o b j ( C ) 1_\mathcal C(A) = A,\,\, \forall A \in obj(\mathcal C) 1C(A)=A,∀A∈obj(C)1 C ( f ) = f , ∀ f ∈ H o m ( A , B ) 1_\mathcal C(f) = f,\,\, \forall f \in Hom(A,B) 1C(f)=f,∀f∈Hom(A,B)
- 范畴 C \mathcal C C,对象 A ∈ o b j ( C ) A \in obj(\mathcal C) A∈obj(C),那么Hom函子(Hom functor) T A : C → S e t s T_A: \mathcal C \to Sets TA:C→Sets定义为:
T A ( B ) = H o m ( A , B ) , ∀ B ∈ o b j ( C ) T_A(B) = Hom(A,B),\,\, \forall B \in obj(\mathcal C) TA(B)=Hom(A,B),∀B∈obj(C)
并且如果 f : B → B ′ f: B \to B’ f:B→B′在 C \mathcal C C里,那么 T A ( f ) : H o m ( A , B ) → H o m ( A , B ′ ) T_A(f): Hom(A,B) \to Hom(A,B’) TA(f):Hom(A,B)→Hom(A,B′)是
T A ( f ) : h ↦ f h T_A(f): h \mapsto fh TA(f):h↦fh
我们将 T A ( f ) T_A(f) TA(f)叫做导出映射(induced map),定义为
T A ( f ) = f ∗ : h ↦ f h T_A(f) = f_*: h \mapsto fh TA(f)=f∗:h↦fh
容易验证,如果 h ∈ H o m ( A , B ) h \in Hom(A,B) h∈Hom(A,B),那么 ( 1 B ) ∗ = 1 H o m ( A , B ) (1_B)_* = 1_{Hom(A,B)} (1B)∗=1Hom(A,B) - 令 R R R是交换环, A , B , B ′ A,B,B’ A,B,B′是 R − R- R−模,由于 H o m R ( A , B ) Hom_R(A,B) HomR(A,B)也是 R − R- R−模,那么Hom函子 T A : R M o d → S e t s T_A: _RMod \to Sets TA:RMod→Sets拥有更多结构。给定 R − R- R−同态 f : B → B ′ f:B \to B’ f:B→B′,
- 导出映射 f ∗ f_* f∗是可加的(additive):如果 h , h ′ ∈ H o m ( A , B ) h,h’ \in Hom(A,B) h,h′∈Hom(A,B),那么对于任意的 a ∈ A a \in A a∈A,都有
f ∗ ( h + h ′ ) = f ( h + h ′ ) : a ↦ f ( h a + h ′ a ) = f h a + f h ′ a = ( f ∗ ( h ) + f ∗ ( h ′ ) ) ( a ) \begin{aligned} f_*(h+h’) = f(h+h’): a &\mapsto f(ha+h’a)\\ &= fha+fh’a = (f_*(h)+f_*(h’))(a) \end{aligned} f∗(h+h′)=f(h+h′):a↦f(ha+h′a)=fha+fh′a=(f∗(h)+f∗(h′))(a)
于是 f ∗ ( h + h ′ ) = f ∗ ( h ) + f ∗ ( h ′ ) f_*(h+h’) = f_*(h)+f_*(h’) f∗(h+h′)=f∗(h)+f∗(h′) - 导出映射 f ∗ f_* f∗保持数乘(preserves scalars):如果 r ∈ R r \in R r∈R且 h ∈ H o m ( A , B ) h \in Hom(A,B) h∈Hom(A,B),那么
f ∗ ( r h ) : a ↦ f ( r h ) ( a ) = f h ( r a ) = ( r f ) h ( a ) = ( r f ) ∗ ( h ) ( a ) \begin{aligned} f_*(rh): a &\mapsto f(rh)(a)\\ &= fh(ra) = (rf)h(a) = (rf)_*(h)(a) \end{aligned} f∗(rh):a↦f(rh)(a)=fh(ra)=(rf)h(a)=(rf)∗(h)(a)
于是 f ∗ ( r h ) = ( r f ) ∗ ( h ) f_*(rh) = (rf)_*(h) f∗(rh)=(rf)∗(h)
也就是说, R − R- R−模的Hom函子的导出映射是 R − R- R−同态。
- 导出映射 f ∗ f_* f∗是可加的(additive):如果 h , h ′ ∈ H o m ( A , B ) h,h’ \in Hom(A,B) h,h′∈Hom(A,B),那么对于任意的 a ∈ A a \in A a∈A,都有
- 对于群范畴 Groups,遗忘函子(forgetful functor) U : G r o u p s → S e t s U: Groups \to Sets U:Groups→Sets定义为,对于群 ( G , μ : G × G → G ) (G,\mu:G \times G \to G) (G,μ:G×G→G),
U ( ( G , μ ) ) = G U((G,\mu)) = G U((G,μ))=G
也就是说 U U U忘记了群运算,只记得群集合。 - 对于 R − R- R−模 ( M , α : M × M → M , σ : R × M → M ) (M,\alpha:M \times M \to M,\sigma:R \times M \to M) (M,α:M×M→M,σ:R×M→M),可以定义 U ′ : R M o d → A b U’: _RMod \to Ab U′:RMod→Ab为
U ′ ( ( M , α , σ ) ) = ( M , α ) U'((M,\alpha,\sigma)) = (M,\alpha) U′((M,α,σ))=(M,α)
或者定义 U ′ : R M o d → S e t s U’: _RMod \to Sets U′:RMod→Sets为
U ′ ′ ( ( M , α , σ ) ) = ( M , α ) U”((M,\alpha,\sigma)) = (M,\alpha) U′′((M,α,σ))=(M,α)
两者也都是遗忘函子。
逆变函子
前面定义的函子叫做协变函子(covariant functor)
令 C , D \mathcal C, \mathcal D C,D是两个范畴,那么逆变函子(contravariant functor) T : C → D T: \mathcal C \to \mathcal D T:C→D是一个函数,它满足
- 如果 C ∈ o b j ( C ) C \in obj(\mathcal C) C∈obj(C),那么 T ( C ) ∈ o b j ( D ) T(C) \in obj(\mathcal D) T(C)∈obj(D),逆变函子将对象映射到对象,与协变函子相同。
- 如果 f : C → C ′ f:C \to C’ f:C→C′在 C \mathcal C C里,那么 T ( f ) : T ( C ′ ) → T ( C ) T(f): T(C’) \to T(C) T(f):T(C′)→T(C)在 D \mathcal D D里,这与协变函子的方向相反。
- 如果 C ⟶ f C ′ ⟶ g C ′ ′ C \overset{f}{\longrightarrow} C’ \overset{g}{\longrightarrow} C” C⟶fC′⟶gC′′在 C \mathcal C C里,那么那么
T ( C ′ ′ ) ⟶ T ( g ) T ( C ′ ) ⟶ T ( f ) T ( C ) T(C”) \overset{T(g)}{\longrightarrow} T(C’) \overset{T(f)}{\longrightarrow} T(C) T(C′′)⟶T(g)T(C′)⟶T(f)T(C)
在范畴 D \mathcal D D里,并且满足
T ( g f ) = T ( f ) T ( g ) T(gf) = T(f)T(g) T(gf)=T(f)T(g)
,这与协变函子的方向相反。 - 对于任意的对象 A ∈ o b j ( C ) A \in obj(\mathcal C) A∈obj(C),都有
T ( 1 A ) = 1 T ( A ) T(1_A) = 1_{T(A)} T(1A)=1T(A)
逆变函子保持恒等态射,与协变函子相同。
例子
- 范畴 C \mathcal C C,对象 B ∈ o b j ( C ) B \in obj(\mathcal C) B∈obj(C),那么逆变Hom函子(contravariant Hom functor) T B : C → S e t s T^B: \mathcal C \to Sets TB:C→Sets定义为:
T B ( C ) = H o m ( C , B ) , ∀ C ∈ o b j ( C ) T^B(C) = Hom(C,B),\,\, \forall C \in obj(\mathcal C) TB(C)=Hom(C,B),∀C∈obj(C)
并且如果 f : C → C ′ f: C \to C’ f:C→C′在 C \mathcal C C里,那么 T B ( f ) : H o m ( C ′ , B ) → H o m ( C , B ) T^B(f): Hom(C’,B) \to Hom(C,B) TB(f):Hom(C′,B)→Hom(C,B)是
T B ( f ) : h ↦ h f T^B(f): h \mapsto hf TB(f):h↦hf
我们将 T B ( f ) T^B(f) TB(f)也叫做导出映射(induced map),定义为
T B ( f ) = f ∗ : h ↦ h f T^B(f) = f^*: h \mapsto hf TB(f)=f∗:h↦hf
容易验证,如果 h ∈ H o m ( C , B ) h \in Hom(C,B) h∈Hom(C,B),那么 ( 1 C ) ∗ = 1 H o m ( C , B ) (1_C)^* = 1_{Hom(C,B)} (1C)∗=1Hom(C,B) - 令 R R R是交换环, C , C ′ , B C,C’,B C,C′,B是 R − R- R−模,由于 H o m R ( C , B ) Hom_R(C,B) HomR(C,B)也是 R − R- R−模,那么逆变Hom函子 T B : R M o d → S e t s T^B: _RMod \to Sets TB:RMod→Sets也拥有更多结构。给定 R − R- R−同态 f : C → C ′ f:C \to C’ f:C→C′,
- 导出映射 f ∗ f^* f∗是可加的(additive):如果 h , h ′ ∈ H o m ( C ′ , B ) h,h’ \in Hom(C’,B) h,h′∈Hom(C′,B),那么对于任意的 c ′ ∈ C ′ c’ \in C’ c′∈C′,都有
f ∗ ( h + h ′ ) = ( h + h ′ ) f : c ′ ↦ ( h + h ) f ( c ′ ) = h f c ′ + h ′ f c ′ = ( f ∗ ( h ) + f ∗ ( h ′ ) ) ( c ′ ) \begin{aligned} f^*(h+h’) = (h+h’)f: c’ &\mapsto (h+h)f(c’)\\ &= hfc’+h’fc’ = (f^*(h)+f^*(h’))(c’) \end{aligned} f∗(h+h′)=(h+h′)f:c′↦(h+h)f(c′)=hfc′+h′fc′=(f∗(h)+f∗(h′))(c′)
于是 f ∗ ( h + h ′ ) = f ∗ ( h ) + f ∗ ( h ′ ) f^*(h+h’) = f^*(h)+f^*(h’) f∗(h+h′)=f∗(h)+f∗(h′) - 导出映射 f ∗ f^* f∗保持数乘(preserves scalars):如果 r ∈ R r \in R r∈R且 h ∈ H o m ( C ′ , B ) h \in Hom(C’,B) h∈Hom(C′,B),那么
f ∗ ( r h ) : c ′ ↦ ( r h ) f ( c ′ ) = h f ( r c ′ ) = h ( r f ) ( c ′ ) = ( r f ) ∗ ( h ) ( c ′ ) \begin{aligned} f_*(rh): c’ &\mapsto (rh)f(c’)\\ &= hf(rc’) = h(rf)(c’) = (rf)^*(h)(c’) \end{aligned} f∗(rh):c′↦(rh)f(c′)=hf(rc′)=h(rf)(c′)=(rf)∗(h)(c′)
于是 f ∗ ( r h ) = ( r f ) ∗ ( h ) f^*(rh) = (rf)^*(h) f∗(rh)=(rf)∗(h)
也就是说, R − R- R−模的逆变Hom函子的导出映射是 R − R- R−同态。
- 导出映射 f ∗ f^* f∗是可加的(additive):如果 h , h ′ ∈ H o m ( C ′ , B ) h,h’ \in Hom(C’,B) h,h′∈Hom(C′,B),那么对于任意的 c ′ ∈ C ′ c’ \in C’ c′∈C′,都有
加性(additive)
令 C , D \mathcal C,\mathcal D C,D都是预加性范畴,一个函子 T : C → D T: \mathcal C \to \mathcal D T:C→D叫做加性函子(additive functor),如果它对于任意一对态射 f , g ∈ H o m ( A , B ) f,g \in Hom(A,B) f,g∈Hom(A,B),都有
T ( f + g ) = T ( f ) + T ( g ) T(f+g) = T(f)+T(g) T(f+g)=T(f)+T(g)
性质
- 对于任意的函子 T : C → D T: \mathcal C \to \mathcal D T:C→D,定义
T A B : H o m ( A , B ) → H o m ( T A , T B ) h ↦ T ( h ) \begin{aligned} T_{AB}: Hom(A,B) &\to Hom(TA,TB)\\ h &\mapsto T(h) \end{aligned} TAB:Hom(A,B)h→Hom(TA,TB)↦T(h)
如果 T T T是两个预加性范畴之间的加性函子,那么每一个 T A B T_{AB} TAB都是阿贝尔群同态。对于逆变函子也一样。 - 令 T : R M o d → A b T: _R Mod \to Ab T:RMod→Ab是一个加性函子,那么 T T T保持无限直和(preserves finite direct sums):
T ( A 1 ⊕ ⋯ ⊕ A n ) ≅ T ( A 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ T ( A n ) T(A_1 \oplus \cdots \oplus A_n) \cong T(A_1) \oplus \cdots \oplus T(A_n) T(A1⊕⋯⊕An)≅T(A1)⊕⋯⊕T(An) - 给定 R − R- R−模的正合列
0 ⟶ A ⟶ i B ⟶ p C 0 \overset{}{\longrightarrow} A \overset{i}{\longrightarrow} B \overset{p}{\longrightarrow} C 0⟶A⟶iB⟶pC
令 X X X是一个 R − R- R−模,那么存在另一个正合列
0 ⟶ H o m R ( X , A ) ⟶ i ∗ H o m R ( X , B ) ⟶ p ∗ H o m R ( X , C ) 0 \overset{}{\longrightarrow} Hom_R(X,A) \overset{i_*}{\longrightarrow} Hom_R(X,B) \overset{p_*}{\longrightarrow} Hom_R(X,C) 0⟶HomR(X,A)⟶i∗HomR(X,B)⟶p∗HomR(X,C)
协变Hom函子的诱导映射,箭头同向。 - 给定 R − R- R−模的正合列
A ⟶ i B ⟶ p C ⟶ 0 A \overset{i}{\longrightarrow} B \overset{p}{\longrightarrow} C \overset{}{\longrightarrow} 0 A⟶iB⟶pC⟶0
令 Y Y Y是一个 R − R- R−模,那么存在另一个正合列
0 ⟶ H o m R ( C , Y ) ⟶ p ∗ H o m R ( B , Y ) ⟶ i ∗ H o m R ( A , Y ) 0 \overset{}{\longrightarrow} Hom_R(C,Y) \overset{p^*}{\longrightarrow} Hom_R(B,Y) \overset{i^*}{\longrightarrow} Hom_R(A,Y) 0⟶HomR(C,Y)⟶p∗HomR(B,Y)⟶i∗HomR(A,Y)
逆变Hom函子的诱导映射,箭头反向。 - 令 i : B ′ → B i: B’ \to B i:B′→B和 p : B → B ′ ′ p: B \to B” p:B→B′′都是 R − R- R−同态,其中 R R R是交换环。如果对于任意的 R − R- R−模 M M M,序列
0 ⟶ H o m R ( B ′ ′ , M ) ⟶ p ∗ H o m R ( B , M ) ⟶ i ∗ H o m R ( B ′ , M ) 0 \overset{}{\longrightarrow} Hom_R(B”,M) \overset{p^*}{\longrightarrow} Hom_R(B,M) \overset{i^*}{\longrightarrow} Hom_R(B’,M) 0⟶HomR(B′′,M)⟶p∗HomR(B,M)⟶i∗HomR(B′,M)
是正合的,那么下面的序列也是正合的
B ′ ⟶ i B ⟶ p B ′ ′ ⟶ 0 B’ \overset{i}{\longrightarrow} B \overset{p}{\longrightarrow} B” \overset{}{\longrightarrow} 0 B′⟶iB⟶pB′′⟶0
正合函子
协变函子
左正合
一个协变函子 T : R M o d → A b T: _R Mod \to Ab T:RMod→Ab是左正合的(left exact),如果序列
0 ⟶ A ⟶ i B ⟶ p C 0 \overset{}{\longrightarrow} A \overset{i}{\longrightarrow} B \overset{p}{\longrightarrow} C 0⟶A⟶iB⟶pC
的正合性(exactness),导致如下序列的正合性
0 ⟶ T ( A ) ⟶ T ( i ) T ( B ) ⟶ T ( p ) T ( C ) 0 \overset{}{\longrightarrow} T(A) \overset{T(i)}{\longrightarrow} T(B) \overset{T(p)}{\longrightarrow} T(C) 0⟶T(A)⟶T(i)T(B)⟶T(p)T(C)
即第3
条性质为,协变Hom函子 H o m R ( X , ) Hom_R(X,\,\,) HomR(X,)是左正合函子。
正合
一个协变函子 T : R M o d → A b T: _R Mod \to Ab T:RMod→Ab是正合函子(exact functor),如果序列
0 ⟶ A ⟶ i B ⟶ p C → 0 0 \overset{}{\longrightarrow} A \overset{i}{\longrightarrow} B \overset{p}{\longrightarrow} C \to 0 0⟶A⟶iB⟶pC→0
的正合性(exactness),导致如下序列的正合性
0 ⟶ T ( A ) ⟶ T ( i ) T ( B ) ⟶ T ( p ) T ( C ) → 0 0 \overset{}{\longrightarrow} T(A) \overset{T(i)}{\longrightarrow} T(B) \overset{T(p)}{\longrightarrow} T(C) \to 0 0⟶T(A)⟶T(i)T(B)⟶T(p)T(C)→0
逆变函子
左正合
一个逆变函子 T : R M o d → A b T: _R Mod \to Ab T:RMod→Ab是左正合的(left exact),如果序列
A ⟶ i B ⟶ p C ⟶ 0 A \overset{i}{\longrightarrow} B \overset{p}{\longrightarrow} C \overset{}{\longrightarrow} 0 A⟶iB⟶pC⟶0
的正合性(exactness),导致如下序列的正合性
0 ⟶ T ( C ) ⟶ T ( p ) T ( B ) ⟶ T ( i ) T ( A ) 0 \overset{}{\longrightarrow} T(C) \overset{T(p)}{\longrightarrow} T(B) \overset{T(i)}{\longrightarrow} T(A) 0⟶T(C)⟶T(p)T(B)⟶T(i)T(A)
即第4
条性质为,逆变Hom函子 H o m R ( , Y ) Hom_R(\,\,,Y) HomR(,Y)是左正合函子。
正合
一个逆变函子 T : R M o d → A b T: _R Mod \to Ab T:RMod→Ab是正合函子(exact functor),如果序列
0 ⟶ A ⟶ i B ⟶ p C → 0 0 \overset{}{\longrightarrow} A \overset{i}{\longrightarrow} B \overset{p}{\longrightarrow} C \to 0 0⟶A⟶iB⟶pC→0
的正合性(exactness),导致如下序列的正合性
0 ⟶ T ( C ) ⟶ T ( p ) T ( B ) ⟶ T ( i ) T ( A ) → 0 0 \overset{}{\longrightarrow} T(C) \overset{T(p)}{\longrightarrow} T(B) \overset{T(i)}{\longrightarrow} T(A) \to 0 0⟶T(C)⟶T(p)T(B)⟶T(i)T(A)→0
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