大家好,欢迎来到IT知识分享网。
正多胞体定义:
一个正五胞体的旋转图:
Tesseract
把一个正方形向第三方向(向上)推移就得到一个立方体,同样把一个立方体向第四方向推移,就会得到一个超立方体
超立方体,又作正八胞体(8-cell,Regular octachoron),立方体柱(Cubic prism),4-4边形柱(4-4 duoprism)
另:“超立方体”的英文是Tesseract而不是Hypercube,Hypercube在wiki上是指N维立方体(一维的线段,二维的正方形,三维的立方体……)的总称
Tesseract,立方体胞:8,正方形面:24,棱数:32,顶点数:16
它的施莱夫利符号有几个{4,3,3}(特指它是正多胞体Tesseract);{4,3}x{}(代指Cubic prism);{4}x{4}(4-4 duoprism);{4}x{}x{}(代指Square prismatic prism);{}x{}x{}x{}(代指Line segmentary prismatic prismatic prism,这个……)。顶点图是正四面体,在超立方体中每条棱上有三个立方体
不用说,它就是立方体的四维类比
像立方体6个面展开一样,超立方体的展开图:
平行投影:
在平面上画四根轴,其中相邻轴的夹角为45度(每根轴的单位长度相等),再在平面上标出超立方体的十六个顶点(±0.5,±0.5,±0.5,±0.5),然后连线(表达很繁琐,过程很简单)
超立方体的旋转图wiki上有很多,个人觉得下面这个最好
几何学中,当一个半正多面体的每个面的边数都是偶数时,可以在它的每一个面上隔一点连一条线,整理得到一个新的半正多面体,这就是Alternation(没有中文翻译滴叫它“半截”好了)
附图:大斜方截半立方体通过Alternation变成扭棱立方体
72°≤75.52°<90°,可知由正五胞体组成的5-正多胞形有两个,分别是每个面上有三个和四个正五胞体,分别对应施莱夫利符号{3,3,3,3}和{3,3,3,4}
90°≤90°<120°,可知由超正方体组成的5-正多胞形有一个,它的每个面上有三个超正方体,对应施莱夫利符号{4,3,3,3}
120°≤120°<144°<164.48°,可知由16-cell、24-cell、120-cell或600-cell组成的5-正多胞形都不存在
因而只有三个五维的正多胞形——应该说从五维开始,正多胞形开始简单化了
继续看Ditopal Angle,从五维以及更高维上看,
即当n≥5时
对于n-simplex,72°≤arccos1/n<90°恒成立,
对于n-cube,90°≤90°<120°恒成立,
对于n-cross,120°≤2arccos1/√n 恒成立,
因此n-simplex组成的高一维的正多胞形仍然有两个,n-cube组成的仍然有一个,n-cross组成的仍然不存在
钻一下牛角尖的说,如果维数达到无限的时候,arccos1/∞=90°,
如果这样说那由∞-simplex组成的再高一维的正多胞形(∞+1)-cross就不存在了,
但是∞-cube的Ditopal Angle仍然是90°,(∞+1)-cube仍然存在,这样说作为它的对偶(∞+1)-cross又有了存在的必要性
这样看两句话就矛盾了……
正多胞形(regular polytopes)分为Convex regular(正多边形、正多面体、正多胞体和下面的这三类)、Nonconvex regular(星形,五角星啊这些),
以及Convex Euclidean tessellations(欧氏正镶嵌,例如地板上正方形瓷砖无限平铺这样填满整个平坦空间这类)、Convex hyperbolic tessellations(双曲正镶嵌,以后再说)、Nonconvex hyperbolic tessellations(双曲星形正镶嵌,我也不是很懂,星形没有欧氏正镶嵌的,因为镶嵌出来多面体密度为无限)
还有Abstract Polytopes(拓扑多胞形,抽象多胞形,例如可以画在球面上但实际上0厚度的多面体Trigonal dihedron、还有画在环面上Hemicube这些我更不明白的东西)
英文wiki百科有介绍的,找List of regular polytopes即可
接上一楼,
五维以及更高各自仅有三个正多胞形,于是乎就被数学家人为地分成三类(上图有):
Simplex,单形,指所有施莱夫利符号为{3,3,…,3}的正多胞形
Hypercube,立方形,指所有施莱夫利符号为{4,3,3,…,3}的正多胞形
Hypercross(或作Orthoplex),正轴形(翻译自日文),指所有施莱夫利符号为{3,3,…,3,4}的正多胞形
从零维(负一维不知道算不算)到无穷维,每个维度都有它们三者参与的
下面讲一下三大类正多胞形,Simplex、Hypercross和Hypercube,对应考克斯特群(Coxeter Group)分别是An、Bn和Cn(这个以后再说)
Simplex
三个不在同一直线的点可以确定一个平面,四个不共面的点可以确定一个立体空间(任意三点不共线),同理可得五个不在同一立体空间的点可以确定一个四维空间(任意三点不共线,四点不共面),同样用六点、七点、八点可以确定一个五维空间、六维空间、七维空间……这种刚好确定一个N维空间的N+1个点构成多胞形就叫单形,三角形四面体五胞体这些都属于单形,当然它们不一定是“正”的。
单形(Simplex),英文又作Simplexes或Simplices,看上去是Simple和Complex的混合,字面意思大概是简单的复杂(Simplicial Complex,*.*),说白点就是复杂空间(高维空间)的简单的东东——可以说,一个单形的确是该空间中构造最简单的东西。其中正单形代表考克斯特群An群
如果一个n维单形的所有棱长相同或者其中的j(2<j<n)维面都全等的话,则可以判断这个单形是“正”的(Regular Simplex,用于表示一类正多胞形时常去掉Regular)。如等边三角形是“正三角形”,有兴趣的朋友可以画一下,一个等边的四面体也是“正”的。
向低维类比,二维单形是三角形,那么类比可得一维单形是线段(不过线段未必是指一维单形,它也可以指代“一维立方体”),零维单形是点(同样点未必指代零维单形的)
零维到无穷维,如果限定棱长,那每个维度上有且只有一个正单形,这和Hypercube、Hypercross一样,都是有且只有一个的,不过与之不用的是,正单形必定是自身对偶的,同时自2维始单形一定不是中心对称的。
另外,这个“单形”可不是百度百科上的“晶体单形”,很多网站和网友(包括视频“教你认识四维空间”)所说的单形指的是四维的单形——五胞体,这里需要指正一下。单形应该是一个大集合。
下图是前二十维正单形的二维投影,可以知道它的构造极其简单,每个点两两连线即可得出它的线架图。大图, http://hi.baidu.com/%B1%B3%C5%D1%D5%DFyo_leiton/album/Petrie%20Polygon或者英文wiki之
下面是一组单形的数据,从左到右依次是该单形的顶点数、棱数、(三角形)面数、(四面体)胞数、超胞(四维面)数、五维面数……
0-simplex: 1
1-simplex: 2 1
2-simplex: 3 3 1
3-simplex: 4 6 4 1
4-simplex: 5 10 10 5 1
5-simplex: 6 15 20 15 6 1
6-simplex: 7 21 35 35 21 7 1
7-simplex: 8 28 56 70 56 28 8 1
8-simplex: 9 36 84 126 126 84 36 9 1
9-simplex: 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
10-simplex:11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
似曾相识吧,这个数列就是杨辉三角,不过最左边少了一行1(其实这样“1”是存在的,属于负一维产物)
正单形的坐标很难算(详细坐标英文wiki之),不过如果把它放到高一维的话会简单很多,例如把一个正三角形放到三维,则它的三点坐标可以是(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1),同样地一个正四面体放到四维后四个顶点可以是(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)如此类推。
将一个点沿一个方向推移,得到一根线段;
将一根线段向垂直方向推移相同距离,得到一个正方形;
将正方形沿垂直于它自身的方向推移相同距离,得到一个立方体
将立方体沿垂直于它自身的方向推移相同距离,得到一个超正方体……
每一步得到的东西集合在一起,就是Hypercube,个人译作“正立方形”,代表考克斯特群Cn群
可以说,想象立方形向高维类比的过程要比想象单形要简单得多(个人觉得是,毕竟我们见过的立方体总比正四面体要多)
Hypercube的特殊性在于,它的每一个角,不管是正方形夹角,还是立方体的二面角,甚至是超正方体里两个立方体之间的夹角等等,通通都是90°,也就是说,单用一种正立方形就能填满该(平坦)空间(Hypercube regular tessellation)——如正方形镶嵌填满平面(Square tiling),立方体堆砌满一个平坦立体空间(Cubic honeycomb)
前十维正立方形二维投影以及数据,各个立方形的二维投影大图楼上连接有
可以看出,越到高维正立方形的线架投影越复杂,实际上在高维立方形算简单的了,一个十维只有20个九维立方形表面。
立方形的坐标很简单,一个n维立方体(n-cube)的2^n个点坐标可以是(±1, ±1,…, ±1)(n个±1)
(比不上Simplex,这楼要说的确实不多)
从无开始出现一根匀速变长的线段,之后又用同样的速度缩段知道没有,如果推移的时间“长度”与最长线段的长度一样,那就得到一个正方形
用上面的方法出现一个先变大后变小的正方形,这样就得到一个正八面体(大家看看正八面体穿过平面的截面是不是这样的?)
用上面的方法出现一个先变大后变小的正八面体,就会得到一个正十六胞体……
每一步得到的东西集合在一起,就是Hypercorss,Orthoplex也是指这类东西,但指代意义有所不同。
Hypercross,个人译作“正轴形”(翻译自日文),英文wiki上写的是“Cross-polytope”,考虑到它与Hypercube是相互对偶的,因此我用Hypercross代替之,它代表的是考克斯特群Bn群(不明白为什么它会排在Hypercube前面,天知道他老人家是怎么排序的)
一般说来,要认识一个正轴形用截面观察法要比投影观察法要好(个人观点),下图是前十维正轴形而为投影仪及数据(点击大图)
因为正轴形与正立方形是对偶的,所以正轴形的二维投影是看上去很简单实际构造很复杂的,它的表面随维度增加成指数增长的,一个10维的正轴形有1024个表面!
正轴形的坐标也算是很简单的了,是所有形如(±1,0,0,……,0)的点,即(±1,0,0,……,0),(0,±1,0,……,0),(0,0,±1,……,0),……,(0,0,0,……,±1)。值得一提的是在一个n-cross中,把每两个中心对称的点连起线(共n条线),就会得到n条两两垂直的线——这也正好得到了一个高维坐标系,因而得名“正轴形”
另外注意到图中一个正轴形有两种不同的施莱夫利符号和Coxeter-Dynkin Diagram(考克斯特-丹金图)
n-cross(也就是“正轴形”)对应的C-D Diagram是线段形,应该是特质这个n-cross是正多胞形(所谓的“线段形”基本上都是指代这个)
而n-orthoplex(Orthoplex真的不知道怎么翻译,找不到关于这个的资料)对应的C-D Diagram是分岔形,指代什么也很模糊,个人觉得它应该是指代一个有上下底面之分的反棱柱(antiprism,一种三维特有的半正多面体,高维上几乎不存在)——其中一个n维orthoplex的“底面”都是一个n-1维的simplex
免责声明:本站所有文章内容,图片,视频等均是来源于用户投稿和互联网及文摘转载整编而成,不代表本站观点,不承担相关法律责任。其著作权各归其原作者或其出版社所有。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容,侵犯到您的权益,请在线联系站长,一经查实,本站将立刻删除。 本文来自网络,若有侵权,请联系删除,如若转载,请注明出处:https://haidsoft.com/127363.html