三角定位 笔记

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三角定位 笔记

纯高中知识尝试解三角定位问题

推推,介绍介绍公式

(为什么csdn的katex对齐用的是aligned而不是align,突然有点不习惯

手算一遍

做过N垂直于P₁P₂的垂线交P₁P₂与A,垂直于P₁P₃的交P₁P₃与C

注意到$\Delta P_1{P}_{2}N$可以用公式1并求出两线段比值

$$\begin{gathered} |P_1{P}_2|=13 \\ |P_{1}A|=\frac{r_1^2+|P_1{P}_2{|}^2-r_2^2}{2|P_1{P}_2|}=4 \\ \frac{|P_{1}A|}{|A{P}_2|}=\frac{|P_{1}A|}{|P_1{P}_2|-|P_{1}A|}=\frac{4}{9} \end{gathered}$$

有了比值就可以用公式2了

$$A=(\frac{\frac{4}{9}\times 13}{1+\frac{4}{9}},0)=(4,0)$$

这里想求过A和N的直线的方程,用点斜式试试,先求斜率

$$k_{P_1{P}_2}=0,k_{P_1{P}_2}{k}_{\perp A}=-1,k_{\perp A}无解$$

k_⊥A不存在!那就直接代点的横坐标,所以l_A就是

$$l_A:x=4$$

对C做相同的流程(实际上这里选另一个点完全可以)

$$\begin{gathered} |P_{1}C|=\frac{r_1^2+|P_1{P}_3{|}^2-r_3^2}{2|P_1{P}_3|}=2\sqrt{5} \\ \frac{|P_{1}C|}{|C{P}_3|}=\frac{2\sqrt{5}}{5\sqrt{5}-2\sqrt{5}}=\frac{2}{3} \\ \therefore C=(\frac{\frac{2}{3}\times 5}{1+\frac{2}{3}},\frac{\frac{2}{3}\times 10}{1+\frac{2}{3}})=(2,4) \\ {k}_{P_1{P}_3}=2,k_{P_1{P}_3}{k}_{\perp C}=-1,k_{\perp C}=-\frac{1}{2} \\ \begin{array}{rl}{l}_C:(y-4)& =-\frac{1}{2}(x-2)\\ y& =-\frac{1}{2}x+5\end{array} \end{gathered}$$

联立l_A和l_C

$$\{\begin{array}{l}x=4\\ y=-\frac{1}{2}x+5\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=4\\ y=3\end{array}$$

也就是说目标点就在(4,3)

一点奇技淫巧

如果真按照手动计算来说的话,可能还要创建一个直线的类,不过我们用到直线的功能不多,就两个:点斜式和解交点,那我们就可以做一做思路的变换

对于二元一次方程组,可以把它化成一个向量方程,eg.

$$\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ dx+ey=f\end{array}\iff \left[\begin{array}{cc}a& b\\ d& e\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}c\\ f\end{array}\right]$$

那么方程组的解就是

$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}a& b\\ d& e\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}c\\ f\end{array}\right]$$

这一步刚好可以通过numpy实现

当然这里可以用克莱姆法则就是现在还没有对比一下谁更快一点

先把前面几个公式写好

class point():#写个点的类方便区分横纵坐标值,当然你直接用元组或者numpy数组 def __init__(self, x, y) -> None: self.x = x self.y = y def dist(a: point, b: point): # distance,两点间距离 return sqrt((b.x-a.x)2+(b.y-a.y)2) def dpsp(p1: point, p2: point, ratio): # definite proportion and separated points,定比分点 return point((p1.x+ratio*p2.x)/(1+ratio), (p1.y+ratio*p2.y)/(1+ratio)) def ratio(r1, r2, dst): return (r12+dst2-r22)/(2*dst) 

那么对于建立方程组这个问题,我们对点斜式做点手脚

通过那个向量方程的例子你也可以看出,为了一次性解决问题,x和y不带任何符号,所以为了方便我们做的时候一次性做好这个工作

这是点斜式和变形过程

$$\begin{array}{rl}y-y_0& =k(x-x_0)\\ y-y_0& =kx-k{x}_0\\ y-kx& =y_0-k{x}_0\\ kx-y& =k{x}_0-y_0\end{array}$$

如果k和点知道了那么等号右边就是常数了,现在看左边

如果称y系数为a,x系数是k,y系数是-1,并且一半都是-1,除非斜率不存在.

如果斜率不存在,那么对于直线方程就是$x=x_0$,相当于k=1,a=0.并且,如果求的是垂线斜率的话我们可以直接变形啊

$$\begin{gathered} k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ {l}_1\perp l_2\Rightarrow k_1{k}_2=-1\Rightarrow k_1=-\frac{1}{k_2}=\frac{x_1-x_2}{y_2-y_1} \end{gathered}$$

按这个思路,先默认a=-1,k正常求,斜率不存在时设k=1,a=0即可

整个方程式长这样

$$\left[\begin{array}{cc}{k}_1& a_1\\ k_2& a_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{k}_1{x}_1+a_1{y}_1\\ k_2{x}_2+a_2{y}_2\end{array}\right]$$

这是核心逻辑

def trianglepos(p1: point, p2: point, p3: point, r1, r2, r3): a1 = a2 = -1 p1p2 = dist(p1, p2) p1a = ratio(r1, r2, p1p2) rate1 = p1a/(p1p2-p1a) A = dpsp(p1, p2, rate1) try: k1 = (p1.x-p2.x)/(p2.y-p1.y)#恭喜我debug成功 except ZeroDivisionError: k1 = 1 a1 = 0 p1p3 = dist(p1, p3) p1c = ratio(r1, r3, p1p3) rate2 = p1c/(p1p3-p1c) C = dpsp(p1, p3, rate2) try: k2 = (p1.x-p3.x)/(p3.y-p1.y) except ZeroDivisionError: k2 = 1 a2 = 0 return np.matrix([[k1, a1], [k2, a2]])-1 *\ np.matrix([[k1*A.x+a1*A.y], [k2*C.x+a2*C.y]]) 

恭喜我成功解决了这个隔了快两年才填的坑,不过这只是初步,下一步就是尝试验证这种方法是否能用于经纬度

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