利用干支年反推公元年份的计算公式推导

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干支纪年，是指中国纪年历法，自上古以来就一直使用的纪年方法。干支是天干和地支的总称。把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”。干支纪年与公元纪年可以相互转换。公元年转化为干支年比较好算，干支年转化为公元年目前的流行方法是查表法，先根据干支，查出在干支表中所出的年次，再根据干支年和公元年的关系推算公元年？那么有没有不用查表，就能根据干支利用公式快速计算出干支所处年次的方法呢？

一、公元年转化为干支年

根据公元年数推算这一年的干支，算法比较简单。计算公式：

T=(AD-3) MOD 10                 式（1）

B=(AD-3) MOD 12                 式（2）

式中：T，是Trunk的首字母，代表天干序号；B是Branch的首字母，代表地支序号。AD是Anno Domini的缩写，代表公元；MOD是求余运算符。

比如今年是2022年，根据上述公式，可以推出T=9，B=3。根据表1，天干序号为9的是“壬”。根据表2，地支序号为3的是“寅”，所以2022年是壬寅年。注意：如果T=0，相当于余10，对应“癸”，如果B=0，相当于余12，对应“亥”。

式(1)、(2)中的减3是怎么来的呢？先看表3，一个一个周期60年的干支年次表，从表中可以看出，甲子是一个周期的第1年，癸亥年第60年，而辛酉年是第58年。而公元1年好是我国的辛酉年，是干支年的第58年。所以，往后推3年就到了下一个干支周期的干支1年甲子年，而这一年是公元4年，所以公元4年-干支1年=3年。这就是要减3的原因。

二、干支年转换为公元年

1、查表法

那么如果已经知道干支年，那么能不能反推出公元年呢。比如，想知道“癸丑”年都对应的是公元多少年？网上有好多方法，但大部分都是查表法，从表3查出一个周期中查出“癸丑”年是第50年，然后再利用公式：50+3+n*60，推算出“癸丑”年所有的公元年份，如表4所示。

2、公式法

那么有没有更快速的一种方法，不用查表，就可以根据干支快速地计算出一个周期中，这对干支对应的年次呢？下边进行逐步探讨。

（1）数字化处理

如果把表3中的天干和地支都由表1、表2中的序号来代替(天干的10用0代替，地支的12用0代替)，那么就得到表5。发现这张表得每一行就是干支年次分别对10和12求余的结果。这样就把干支纪年表转化成了1至60对10、12求余的余数表，表中，TB代表干支年次，R10代表干支年次TB除以10的余数，R12代表TB除以12的余数。

（2）思路来源

在文章用列表法分析1500年前南北朝时期的“奥数”题（以下简称《列表法》）中，给出了用列表法推算《孙子算经》“物不知数”3、5、7三个数乘率的方法。这样对于每一组余数，就可以根据公式计算出相对应的那个被除数。

那么同理，能不能也找出10、12的乘率K10、K12，确定一个公式，由一组干支的序号也可以快速推算出干支年次，然后计算出相应的公元年呢？

（3）K12的确定

我们还用列表法尝试一下，从表5中，搜索当R10为0的情况，如表6所示。

从表中可以看到，，但R10=0时R12只有6个，从10依次递减2，而R12本身应该有12个，为什么会少了一半呢？看表5，对于任意一个天干年次TB，其对应的R10和R12要么都是奇数，要么都是偶数，没有奇数和偶数的组合，当R10固定时，R12变化的幅度最小是2。

也就是说，要想让R12实现变化步幅是1，那么R10也需要变换1步，这样才能实现奇数对奇数、偶数对偶数的搭配。

实现这个目的的最简单的方法就是R10增加1，同时R12也增加1，但这种变化在R10、R12都小于10时R10-R12=0，当超过9之后，R10-R12=2，当超过19以后，R10-R12=4，差值发生了跳变，不是连续的，所以这个规律不适用。

那么实现R10、R12奇数对奇数、偶数对偶数的方法还有一种，就是一个增加1步，一个减少1步，相对运动是2步，那么也可以实现奇数对奇数、偶数对偶数的目的。

那么哪个余数增加，哪个余数减少呢？从表6中可以看出，随着干支年次的增加，R12的余数是递减的，也就是逆增长，所以确定这个余数是减少的。那么根据 《列表法》给出的爬爬虫定律1，先找到除数12的余数0在第6行，反向移动，找到它上边的2在第5行，第6行干支年次是60，第5行干支年次是50，又因为步伐是2，所以R12的乘率K12=(50-60)/2=-5。

（3）K10的确定

因为确定除R12是减1变化，那么R10就是加1变化。再从表5中，搜索当除数R12=0的情况，如表7所示。从表中可以看到，搜出5行，从第1行到第4行，R10从2依次递增到8，而0在最后一行，说明0之后的那个2在下一个周期的第一行，也就是对应的干支年次为12+60=72。所以R10的乘率K10=(72-60)÷2=6。

（4）干支年次计算公式

根据以上计算出的乘率，我们能确定根据干支来计算干支年次的公式为：

TB=6*R10-5*R12±n*60     式(3)

注意：公式中，R10代表干支年次除10的余数，R12代表干支年次除12的余数，n代表计算的结果加上或减去n倍60，直到计算结果在[1,60]为止。由于R12是减1变化，所以可能出现计算结果小于0的情况。

（5）验证公式

我们把所有的1到60除10、除12对应的所有余数，代入公式(3)来计算一下结果。

验证结果如表8所示，当n=0时的计算结果都在(-60,60)之间，所以只需要把小于1的再加一次60就能把全部结果换算至[1,60]之间，见AD(n=1)列，所有计算结果与干支年次完全一致，这就验证了公式的正确性。

（6）干支年变换公元年

那么有了一个周期内的计算公式，就可以根据干支计算出所有的公元年份了，计算公式为：

AD=TB+3+m*60                式(4) 

式中，AD代表公元年，TB代表计算出的一周期内的干支年，R10代表天干所对应序号，R12代表地支所对应序号，注意R10可以等于0，也可以等于10，R12可以等于0，也可以等于12，不影响计算结果。

举例验证：以“壬寅”年为例，反推。查表1可知，R10=9；查表2可知，R12=3；代入公式(3)，得：

TB=6*9-5*3=54-15=39年

那么再代入公式(4)依次加60，可计算出至2022年所有的壬寅年，如表9所示。

 把表9与上图查到的资料对比，验证了结果完全正确，说明本文的变换公式

TB=6*R10-5*R12±n*60     式(3)

AD=TB+3+m*60                式(4) 

正确，变换方法可行。