曲线积分（Line Integral）

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1.曲线积分

1.1 曲线积分的意义

曲线积分可用于求物体沿路径运动时所做的功，以及求密度变化的导线的质量
曲线积分不再是以往在某个区间内进行积分，而是在特定曲线上进行积分，即积分区域变为了一条曲线

截图来源于：Introduction to the line integral | Multivariable Calculus | Khan Academy

1.2 第一类曲线积分的计算（对弧长的曲线积分）

第一类曲线积分主要用于求解曲线质量
二维曲线积分
$${\int }_{L}f(x,y)ds$$
我们可以将$f(x,y)$理解为平面内点$(x,y)$处的密度，而$ds$是平面内曲线的弧长微元，对整个曲线$L$ 积分得到此平面曲线的质量

利用曲线积分具有的对称性来简化计算
下图改编自小元老师

下图改编自小元老师

下图改编自小元老师
轮换对称性，即 x 换为 y，y 换为 x 后被积函数一致

1.2.1 曲线积分转为定积分

方法一：曲线积分转为定积分
我们一般通过将弧长微元 ds 用 x,y 或参数 t 表示出来，由此将曲线积分转变为定积分来计算
二维曲线
曲线由参数方程定义

例题：

$$\begin{gathered} CurveC：x=cos(t)，y=sin(t)，0\le t\le \frac{\pi }{2}（图中黑线） \\ f(x,y)=xy（图中红色曲面） \\ {\int }_{C}f(x,y)ds={\int }_{C}xyds（图中黄色线圈住的部分的面积，面积大小可理解为粒子沿黑色曲线做的功的大小） \\ ds=\sqrt{(\frac{dx}{dt}{)}^2+(\frac{dy}{dt}{)}^2}dt \\ {\int }_{t=0}^{t=\pi /2}xy\sqrt{(co{s}^{\prime }(t){)}^2+(si{n}^{\prime }(t){)}^2}dt={\int }_{t=0}^{t=\pi /2}cos(t)sin(t)dt \end{gathered}$$

1.2.2 使用格林公式将闭合曲线积分转为二重积分

方法二：对于正向闭合曲线使用格林公式
详见本人博客：格林公式(Green‘s Formula)
推荐文章：kaysen学长：格林公式史上最通俗最透彻讲解

1.2.3 与路径无关的曲线积分的充要条件

笔记来自：格林公式【小元老师】

方法三：使用与路径无关的曲线积分的充要条件
起点相同，终点相同，则中间无论路径是什么，最终的曲线积分结果都相同

1.2.4 使用斯托克斯公式

方法四：使用斯托克斯公式
详见本人博客：斯托克斯定理

1.3 第二类曲线积分的计算（对坐标的曲线积分）

第二类曲线积分主要用于求解变力沿曲线做的功（研究环流量）

向量值函数F
$$\mathbf{F}(x,y)=P(x,y)\mathbf{i}+Q(x,y)\mathbf{j}$$
P为力F在x方向的变分力，dx为x方向的长度微元
Q为力F在y方向的变分力，dy为y方向的长度微元

函数$P(x,y)$在有向曲线弧 L 对坐标 $x$ 的曲线积分（理解为力在x方向做的功），记作
$${\int }_{L}P(x,y)dx$$
函数$Q(x,y)$在有向曲线弧 L 对坐标 $y$ 的曲线积分（理解为力在y方向做的功），记作
$${\int }_{L}Q(x,y)dy$$
合并以上两个积分
第二类曲线积分的一般形式
$$W={\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$
第二类曲线积分的向量形式
$$\begin{gathered} W={\int }_L\mathbf{F}(x,y)\cdot d\mathbf{r} \\ \mathbf{F}(x,y)=P(x,y)\mathbf{i}+Q(x,y)\mathbf{j} \\ \mathbf{r}=dx\mathbf{i}+dy\mathbf{j} \end{gathered}$$
将第二类曲线积分转为定积分
二维空间中曲线由参数方程定义

三维空间中曲线由参数方程定义

下面例子来自：重积分、曲线积分、曲面积分【合集】【小元老师】

1.4 第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系

1.5 第一类曲线积分和第二类曲线积分的几何解释

笔记来自：b站up主：深科普硬科幻

1.6 曲线积分注意事项

1.2.1 第一类曲线积分注意事项

1.2.2 第二类曲线积分注意事项

下图中积分曲线（xy平面内）不单调，曲线积分在yz平面的投影出现重叠

这就是第二类曲线积分存在方向的原因