4.9 朗斯基行列式

4.9 朗斯基行列式朗斯基行列式用于判断多个函数在定义域内是否线性相关 如果在某点的行列式不为 0 则函数线性无关

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定义

  朗斯基行列式Wronskian determinant是用来判断多个函数之间是不是线性相关的。线性相关就是概念比较复杂,通俗地讲,两个向量之间是不是线性相关,就是看它们二者是不是倍数关系,如果是倍数关系,那么两者是线性相关的。对于多个向量,就是说其中一个向量能不能表示为其他向量的线性组合,如果可以,那么是线性相关的,如果不可以,则是线性无关的。
  函数可以看成是函数空间 C [ a , b ] C_{[a,b]} C[a,b]上的向量, [ a , b ] [a,b] [a,b]是定义域。朗斯基行列式是判断多个函数之间的线性相关的,它是由函数的 1 1 1 n − 1 n-1 n1阶导数组成的矩阵的行列式,公式如下:
∣ f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) f 1 ′ ( x ) f 2 ′ ( x ) ⋯ f n ′ ( x ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ f 1 ( n − 1 ) ( x ) f 2 ( n − 1 ) ( x ) ⋯ f n ( n − 1 ) ( x ) ∣ \begin{vmatrix} f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x)\\ f’_1(x) & f’_2(x) & \cdots & f’_n(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x)\\ \end{vmatrix}
f1(x)f1(x)f1(n1)(x)f2(x)f2(x)f2(n1)(x)fn(x)fn(x)fn(n1)(x)

  朗斯基行列式如果在定义域内存在一个点 x 0 x_0 x0不等于0,则函数组线性无关。但是反过来不一定,也就是说朗斯基行列式为0,推不出函数线性相关。


举例

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