回旋线的计算

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1. 什么是回旋线

在计算机图形学和数学中，回旋线是一种特殊的曲线，它以一种螺旋状的方式向外扩展或向内收缩。回旋线可以通过极坐标方程或参数方程来描述，常见的回旋线包括阿基米德螺线和对数螺线。在计算机图形学中，回旋线常常用于创建艺术效果或动画效果。

2. 特性

kappa 连续

3. 回旋线的参数 

typedef struct rbp_Tag_tpcClothoid_st

  {

    rbp_Type_Point_st End_st; / Clothoid end point   [1/2^10 m] */

    SInt16 Phi_s16;      / Clothoid end point tangent angle   [1/2^12 rad] */

    UInt16 Kappa_u16;    / curvature in end point (= curvature of clothoid circle) [1/2^15 m] */

    UInt16 LengthF10_u16;  / clothoid length [1/2^10 m] */

    SInt16 Xm_s16;       / clothoid circle center [1/2^10 m] */

    SInt16 Ym_s16;       / clothoid circle center [1/2^10 m]. The “Tangentenabrueckung” can be easily calculated: deltaR = Ym – clothoid inner circle radius. The “extended circle radius” is: Rext                                         = sqrt(X_m^2 + Y_m^2). Since these values are not always needed, they should be calculated on demand. */

  } rbp_Type_tpcClothoid_st;

4. 计算原理

1. 回旋线的所有参数的计算按照下面的步骤进行

   1. 获取回旋线结束点出圆半径的曲率： k = 1/R
   2. 计算回旋线的长度：L_clo = K * A2
   3. 计算回旋线的End point信息
   4. 计算回旋线内圆心坐标

2. End point 的计算：

   1. 计算EndPoint处的切角：𝑝𝑠𝑖=𝐿22∗𝐴2。切角的范围在（0~0.5rad,对应0到28.65°）
   2. 如果A<2.7或L_clo<2m，使用近似方法来计算End point的位置（X,Y)。（因为误差分析表明，如果如果A<2.7或L_clo<2m则对于回旋线的所有点，近似值都精确到0.5mm, 比LUP更精确）计算方法： 
      1. EPX≈ L*(1-β^2/10)
      2. EPY≈ L*(β/3)
   3. 否则根据终点的切角β来查表并进行线性插值

3. 计算回旋线内圆心坐标：

                Mpx = Endpoint_x –  R*sinβ

                Mpy = Endpoint_y + R*cosβ

5. Detail 解释