三角函数转换（积分必备）

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目录

一、诱导公式

二、二角和差公式

三、积化和差公式

 四、万能、辅助角公式

五、倍角公式

六、反三角函数

七、余弦定理

一、诱导公式

1.公式一：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系

• sin(π + A) ＝－sinA
• cos(π + A)＝－cosA
• tan(π + A)＝ tanA
• cot(π + A)＝ cotA

2.公式二：任意角α与-α的三角函数值之间的关系

• sin(－A)=－sinA
• cos(－A)=  cosA
• tan(－A)=－tanA
• cot(－A)=－cotA

3. 公式三：π-α与α的三角函数值之间的关系

• sin(π－A)=  sinA
• cos(π－A)=－cosA
• tan(π－A)=－tanA
• cot(π－A)=－cotA

4.公式四：2π-α与α的三角函数值之间的关系

• sin(2π－Ａ)=－sinＡ
• cos(2π－Ａ)=cosＡ
• tan(2π－Ａ)=－tanＡ
• cot(2π－Ａ)=－cotA

5.公式五：(π/2 ± α)与α的三角函数值之间的关系

• sin(π/2 + A)=cosA
• cos(π/2 + A)=－sinA
• tan(π/2 + A)=－cotA
• cot(π/2 + A)=－tanA

                

              

• sin(π/2－A)=cosA
• cos(π/2－A)=sinA

• tan(π/2－Ａ)=cotA

• cot(π/2－A)=tanA

二、二角和差公式

1.正弦和差前后同号，余弦和差前后异号。

2.正弦和差公式始终是sin与cos相乘; 余弦和差公式始终是cos与cos相乘，sin与sin相乘。

3.tan和差公式的分子与分母符号是不同的，而左边与分子符号又是相同的。

• cos(α + β) = cosα·cosβ – sinα·sinβ
• cos(α – β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ
• sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ（sin2α = 2sinαcosα）

 

• tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 – tanαtanβ) 
• tan(α –  β) = (tanα – tanβ) / (1 + tanαtanβ) 

• cot(α + β) = (cotαcotβ – 1) / (cotα + cotβ)  
• cot(α –  β) = (cotαcotβ + 1) / (cotα – cotβ)  

4.三角和公式 

sin(α + β + γ) = sinαcosβcosγ + cosαsinβcosγ + cosαcosβsinγ – sinαsinβsinγ

cos(α + β + γ) = cosαcosβcosγ – cosαsinβsinγ – sinαcosβsinγ – sinαsinβcosγ

三、积化和差公式

1.积化和差——（正余余正，正加正减；余余正正，余加负余减）

• sinα·cosβ = (sin(α + β) + sin(α – β))÷2
• cosβ.sinα = (sin(α + β) – sin(α – β))÷2
• cosβ.cosα = (cos(α + β) + cos(α – β)) ÷2
• sinβ.sinα = – (cos(α + β) – cos(α – β))÷2

2.和差化积——（正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦）

• sinα + sinβ = 2 sin[(α + β)/2] . cos[(α – β)/2]
• sinα – sinβ = 2 cos[(α + β)/2] . sin[(α – β)/2]
• cosα + cosβ = 2 cos[(α + β)/2] . cos[(α – β)/2]
• cosα – cosβ = – 2 sin[(α + β)/2] . sin[(α – β)/2]

3.重点细节 

1、前后项数统一：

• 积是一项，化和差后要 ÷2 ；
• 和差是两项，化积后要成 ×2 。

2、内外项数统一：

• 括号内变量都是先 α+β ，再 α−β 。
• 化和差后是两项，α±β 两项不变；
• 化积后是一项，α±β 要 ÷2 变一项。

 四、万能、辅助角公式

1.万能公式

2.辅助角公式 

五、倍角公式

1.二倍角公式——（升幂缩角公式）

• sin2α = sinαcosα + cosαsinα = 2sinαcosα
• cos2α = cosαcosα + sinαsinα =2cosα^2 – 1 = 1 – sinα^2
• tan2α = 2tanα / (1 – tanα^2)

• 2cosα^2 = 1 + cos2α
• 2sinα^2 = 1 – cos2α

2.多倍角公式

• sin3α = 3sinα – 4sina^3
• cos3α = 4cosα^3 – 3cosα

• sin4α = -4 × [cosαsinα × (2sinα^2 – 1)]
• cos4α = 1 + (-8 × cosα^2 + 8 × sinα^4)

六、反三角函数

1.反三角函数的定义与图像

• y＝ arcsin(x)，定义域[-1,1] ，  值域[-π/2,π/2]
• y = arccos(x)，定义域[-1,1] ，  值域[0,π]
• y = arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2) 

 2.反三角函数的余角、负数关系

七、余弦定理