[信号与系统系列] 正弦振幅调制之差拍信号

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当将具有不同频率的两个正弦曲线相乘时，可以创建一个有趣的音频效果，称为差拍音符。这种现象听起来像颤音，最好通过选择一个频率非常小的信号与和另一个频率大约1KHz的信号，把二者混合从而听到。一些乐器能够自然产生差拍音符。使用正弦相乘的另一种常见情况是无线电广播。在这种情况下，乘积称为振幅调制(AM)，因此称一些广播站为AM无线电。

正弦波的相乘

通过两个正弦波相乘的信号必须重写为加法形式以获得其频谱，因为频谱是复指数信号的加性线性组合的图形来表示的。正弦曲线的其他数学组合也必须以加法形式重写，以便容易获得其频谱表示。

例如计算1/2Hz和5Hz的两个正弦波的乘积所形成的信号，可以使用欧拉公式重写如下：

 上式加性组合公式（标黄）中有四项，因此在频率±11πrad/s和±9πrad/s处存在四个频谱分量。

差拍音符波形

差拍音符将具有几乎相同频率的两个等振幅正弦波相加来产生。从上式（标蓝）可知，两个表明两个正弦曲线的乘积等于两个等振幅正弦曲线的和。如果我们从两个等振幅正弦曲线的加性组合开始，可以得到该乘积形式的频谱关系：

其中fc为中心频率，fc=1/2(f1+f2)；

f△为偏移频率f△=1/2(f2–f1)。

差拍音符频谱图如上图所示。

举例来说，绘制2cos⁡(2π20t)和2cos⁡(2π200t)的时域图如下所示，即差拍音符的图形。

差拍音符的图形通过首先绘制2cos⁡(2π20t)及其负版本-2cos⁡(2π20t)来定义边界，然后在内部绘制较高频率的信号。边界信号称为包络，慢信号可以视为快信号的慢速时变振幅。