普林斯顿微积分-极限导论

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极限：基本思想

左极限与右极限

就趋于极限的行为而言，h（3）=2实际上是无关紧要的．
如果你从图的左边向右走，那么当你的水平位置接近于3时，你所在高度就会接近于1．当然，当到达x =3时你会陡然坠落（更不用说那个古怪的小突起），但暂时我们不关心．这时任何在x=3右侧的值，包含x=3本身对应的值，都是无关紧要的．因此，就可以看到h（x）在x=3的左极限等于1.
另一方面，如果你从图的右边向左走，那么当你的水平位置接近于x =3时，你所在高度就会接近于-2．这就是说，h（x）在x=3的右极限等于-2．


如果左极限和右极限不相等，那么双侧极限不存在

什么情况不存在极限

当相应的左极限和右极限不相等时双侧极限不存在

当x从右侧滑向0时，它看起来并不接近于任何数；它就是变得越来越大了
会比你能想象到的任何数都大！我们说该极限是无穷大

这里的左极限是-∞，因为当x向0上升时，f（x）会变得越来越负

由于左极限和右极限不相等，故双侧极限显然不存在

此函数在x=0处的左极限和右极限都是∞

垂直渐近线的定义：

g（x）=sin（1/x）
由于sin（x）在x=π,2π,3π,…上的值全为0，因而sin（1/x）在1/x=π,2π,3π,…上的值全为0
当接近于0的时候，它们都挤在了一起．由于在每一个x轴截距之间，sin（x）向上走到1或向下走到-1

以上图像在x =0附近很杂乱．它无限地在1和-1之间振荡，当你从右侧向x=0处移动时，振荡会越来越快．这里没有垂直渐近线，也没有极限[插图]．当x从右侧趋于x=0时，该函数不趋于任何数．不存在极限

在∞和-∞处的极限

• 如果一个数的绝对值是非常大的数，则这个数是大的；
• 如果一个数非常接近于0（但不是真的等于0），则这个数是小的。

关于渐近线的两个常见误解

夹逼定理