线代之几何重数&代数重数的理解(2)-矩阵指数的求解

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线代之几何重数&代数重数的理解(2)-矩阵指数的求解

前言

上一篇聊了一下特征值、特征向量的定义，这一篇来继续说约当标准型和几何重数代数重数的关系，以及矩阵指数如何求解

正文

如果想要求出矩阵指数，一般有三种方法

方法一

定义法

$$e^{At}=I+At+\frac{1}{2!}{A}^2{t}^2+\cdot \cdot \cdot$$

百分之 99%的解题情况下没用，八股文除外

方法二

拉氏变换法

$$e^{At}=L^{-1}[(sI-A{)}^{-1}]$$

非常常用，几乎万能就是难算

方法三

将矩阵 A 化为对角标准型或约当标准型

• 如果对应的任意特征值的几何重数 = 代数重数

  $$e^{At}=P\left(\begin{array}{ccc}{e}^{{\lambda }_{1}t}& 0& 0\\ 0& e^{{\lambda }_{2}t}& 0\\ 0& \dots & e^{{\lambda }_{n}t}\end{array}\right)P^{-1}$$

• 如果对应的特征值，存在几何重数 $\ne$ 代数重数
  那么就代表不能被化为对角标准型，必须化成约当标准型
  

  其实也很好理解，因为如果出现几何重数不等于代数重数的情况，也意味着代数重数大于几何重数，几何重数又等于特征子空间的基向量个数，它的 P 就会出现秩$<$阶数的情况，也就是 n 个特征值只解出来小于 n 个的特征向量，也就自然不满足对角化的条件

  在式①中解出来的就是重根的特征向量，但是因为几何重数小于代数重数，解出来的特征向量只会有一个，所以要通过②式来求补充的广义特征向量p2，接着继续带入${\lambda }_3$来解第三个特征向量，由于${\lambda }_3$重根数为1，所以只会解出一个特征向量来

  最后得到变换矩阵P=[p1,p2,p3]

  $$e^{At}=P\left(\begin{array}{ccc}{e}^{{\lambda }_{1}t}& t{e}^{{\lambda }_{1}t}& 0\\ 0& e^{{\lambda }_{1}t}& 0\\ 0& 0& e^{{\lambda }_{2}t}\end{array}\right)P^{-1}$$

  一般形式有点难打，我就不打了，这里只拿特例形式举例子就行

  在这里如果${\lambda }_1$和${\lambda }_2$是一样的，就要把他们看做一个特征值，只不过带有重根属性的特征值

  我们再来观察变换后的约当块可以发现

  变换后的每一个独特的特征值对应的约当块阶数 = 代数重数
  解出几重根，对应的约当块就有几阶
  

总结

本篇阐述了关于几何重数、代数重数与约当块之间的联系，并通过对$e^{At}$的第三种求法来引出如何在无法对角化的情况下进行约当对角化，并且对广义特征向量的求法做出了肤浅的阐明

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