概率论复习笔记一——伯努利实验及相关的概率分布

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一、伯努利概型

在许多问题中，我们对试验感兴趣的是试验中某事件$A$是否发生。在这类问题中，我们可以把事件域取为 F = { ∅ , A , A ˉ , Ω } \mathcal F=\{\emptyset, A, \bar A, \Omega\} F={
∅,A,Aˉ,Ω}，这种只有两个可能结果的试验称为伯努利试验。
 
 
在伯努利试验中，首先要给出下面概率：$$P(A)=p,P(\bar{A})=q\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中，$p\ge 0,q\ge 0,p+q=1$
 
 
现在考虑重复进行$n$次独立的伯努利试验，这里的重复是指每次试验中事件$A$出现的概率都不变，这样的试验称为$n$重伯努利试验，记作$E^n$。它有以下4个约定：

1. 每次试验至多出现两个可能结果之一：$A$和$\bar{A}$
2. $A$在每次试验中出现的概率$p$保持不变
3. 各次试验相互独立
4. 共进行$n$次试验

二、伯努利概型中的一些分布

2.1 伯努利分布

若只进行一次试验，或者事件$A$出现，或者不出现，其概率由$(1)$式给出，称为伯努利分布。
 
 

2.2 二项分布

假设进行了$n$重伯努利试验，以$b(k;n,p)$记作事件$A$出现$k$次的概率，很容易可以计算得到：$$b(k;n,p)=C_n^k{p}^k{q}^{n-k},k=0,1,2\cdots ,n\text{\hspace{1em}(3)}$$
注意到$b(k;n,p),k=0,1,2\cdots ,n$是二项式$(q+ps{)}^n$展开式中$s^k$项的系数，所以$(3)$被称为二项分布。
 
 

2.3 几何分布

假设进行了$n$重伯努利试验，以$g(k;p)$记作事件$A$首次出现在第$k$次试验的概率，那么前$k-1$次都出现事件$\bar{A}$，所以$$g(k;p)=q^{k-1}p,k=1,2,\cdots ,n\text{\hspace{1em}(4)}$$
$g(k;p)$是几何级数的一般项，所以$(4)$称为几何分布。

2.3 帕斯卡分布

假设进行了$n$重伯努利试验，以$f(k;r,p)$记作第$r$次成功出现在第$k$次试验，则必有$k\ge r$，很容易计算得：$$f(k;r,p)=C_{k-1}^{r-1}{p}^{r-1}{q}^{k-r}p=C_{k-1}^{r-1}{p}^r{q}^{k-r}\text{\hspace{1em}(5)}$$
$f(k;r,p)$成为帕斯卡分布，特别当$r=1$时，我们得到几何分布。

2.4 多项分布

二项分布可以很容易的推广到$n$次重复独立试验且每次试验可能有若干个结果的情形。把每次试验的可能结果记为$A_1,A_2,\cdots ,A_r$，$P(A_i)=p_i,i=1,2,\cdots ,r$，且$p_1+p_2+\cdots +p_r=1,p_i\ge 0$，当$r=2$时，就是伯努利试验。
 
 
在这种推广的伯努利试验中，我们不难得出在$n$次试验中，$A_1$出现$k_1$次，$A_2$出现$k_2$次，$A_r$出现$k_r$次的概率为：$$\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_r!}{p}_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r}\text{\hspace{1em}(6)}$$
$(6)$式称为多项分布。

2.5 泊松分布

在伯努利试验中，$n$很大，$p$很小，但$\lambda =np$大小适中。在独立试验中，以$p_n$代表事件$A$在试验中出现的概率，它与试验总数$n$有关，如果$n{p}_n⟶\lambda$，则当$n⟶\infty$时，$$b(k;n,p)⟶\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }\text{\hspace{1em}(7)}$$

证明：
记${\lambda }_n=n{p}_n$，则$b(k;n,p_n)=C_n^k{p}_n^k(1-p_n{)}^{n-k}=\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}(\frac{{\lambda }_n}{n}{)}^k(1-\frac{{\lambda }_n}{n}{)}^{n-k}=\frac{{\lambda }_n^k}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})(1-\frac{\lambda }{n}{)}^{n-k}$

而对于固定的$k$，$n⟶\infty$时，$\underset{n⟶\infty }{\lim }{\lambda }_n^k={\lambda }^k$，$\underset{n⟶\infty }{\lim }(1-\frac{\lambda }{n}{)}^{n-k}=e^{-\lambda }$，$\underset{n⟶\infty }{\lim }(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})=1$

所以有$b(k;n,p)⟶\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$。

记$$p(k;\lambda )=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda },k=0,1,2\cdots \text{\hspace{1em}(8)}$$
$(8)$式称为泊松分布，$\lambda$称为它的参数。
注意到$\sum _{k=0}^{\infty }p(k;\lambda )=1$。