偏态学习笔记

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偏态学习笔记

什么是偏态？

偏态（skewness）指的是数据分布的偏斜程度。如果数据分布左偏，则表示大部分数据较小；如果数据分布右偏，则表示大部分数据较大。

偏态系数

偏态系数（skewness coefficient）用于衡量数据分布的偏态程度。其计算公式如下：

$${\gamma }_1=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^3/n}{s^3}$$

其中，$x_i$为第$i$个观测值，$\bar{x}$为样本均值，$s$为样本标准差，$n$为样本容量。

当${\gamma }_1>0$时，说明分布右偏；当${\gamma }_1<0$时，说明分布左偏；当${\gamma }_1=0$时，说明分布对称。

偏态检验

观测值法

观测值法（observation method）是一种简单粗暴的偏态检验方法，通过观察数据分布图形来判断数据是否呈现偏态分布。

偏态系数法

偏态系数法（skewness coefficient method）是一种比较常用的偏态检验方法，通常使用偏态系数${\gamma }_1$进行判断。

当$|{\gamma }_1|>1.96$时，可以认为数据显著偏态；当$|{\gamma }_1|>1$时，可以认为数据轻微偏态；当$|{\gamma }_1|\le 1$时，认为数据近似对称。这里的1.96和1分别对应了正态分布中95%和68%的置信区间。

偏态处理

如果数据呈现偏态分布，则可能会影响模型的准确性和稳定性。因此，需要对数据进行处理，使其更加符合模型的前提假设。

对数变换

对数变换（logarithmic transformation）是一种处理右偏分布的有效方法。其原理是将数据取对数，从而降低数据的偏度。

$$y=\log (x)$$

平方根变换

平方根变换（square root transformation）是一种处理左偏分布的有效方法。其原理是将数据开平方根，从而降低数据的偏度。

$$y=\sqrt{x}$$

Box-Cox变换

Box-Cox变换是一种可以处理多种偏态分布的方法。其原理是通过对数据进行幂函数变换，使数据更加符合正态分布。

$$y=\{\begin{array}{ll}(\frac{x^{\lambda }-1}{\lambda }),& \text{if }\lambda \ne 0\\ \ln (x),& \text{if }\lambda =0\end{array}$$

其中，$\lambda$为幂函数指数，需要根据数据分布情况进行调整。

总结

本文介绍了偏态概念、偏态系数、偏态检验和偏态处理方法。在实际应用中，需要根据数据分布情况选择不同的处理方法，以提高模型的准确性和稳定性。