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证明根号2为无理数：
大家还记得第一次数学危机的根结吗？
古希腊人相信任何数都可以表示为两个数的比值，也就是说，根据欧几里得的辗转相除算法，只要不断截取线段，总有一次可以截到两条线段一样长。
但后来希帕索斯证明了有一种数是无法用两个数的比值表示的，那就是无理数。
法一：
他先用一个等腰直角三角形，用斜边和直角边的比值来表示根号二。
接着画了一条∠A的角平分线AD，过点D做DE⊥AC，这样AB的长度就可以用AE来替换。
根据欧几里得的辗转相除法，原本是AC：AB，现在AC-AE＝CE，就变成了AB：CE。
又因为这是等腰三角形，所以AB=BC，就将AB:CE变成了BC:CE。
接着，我们再用一次辗转相除法，把BC-CE,易得CE=DE=BD,所以BC-CE就等于BC-BD=DC。
做到这里，我们可以发现，一开始的AB:AC最终变成了CE:CD，正好也是一个等腰直角三角形的直角边比斜边。
嗯？开始循环了，这样一直辗转相除下去，会一直是直角边比斜边。
希帕索斯于是立刻意识到，这个过程无穷无尽，永远无法变成一个比值，所以根号2无法用两个整数的比值表示。
法二：
第二种是我们用的较多的反证法。
假设
是有理数，那它一定可以用两个整数的比值表示；
那么，其中q和p互质，；
两边平方后得：，所以q是偶数，设q=2k；
代入化简后得到：，由此得出，p也是偶数；
p和q均为偶数，与p、q互质矛盾；
所以假设不成立，为无理数。
计算根号2的值：
法一：
首先我们可以写出一个作为基准的公式：
根据这个公式，我们进行变式：
，
左边的根号2就是我们要求的量，我们再将右式不断细化，把根号2代入右式：
；
如果继续推导，可以得出：
；
这种方式叫做连分数法，这样不断细化，就可以得出更精确的根号2的值。
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