量子线路上常见的量子门

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量子线路上常见的量子门

Pauli-X 门

假设 NOT 门作用在任意量子态 $|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$ 上, 可得到新的量子态如下:
$$|{\psi }^{\prime }⟩=X|\psi ⟩=\left[\begin{array}{ccc}0& & 1\\ 1& & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right]=\beta |0⟩+\alpha |1⟩$$

Pauli-Y 门

Y 门也称为泡利-Y 门（Pauli-Y gate）, 它作用在单量子比特上, 它的作用是能够使Bloch球上的箭头绕$Y$轴旋转角度$\pi$ .

Pauli-X门矩阵形式为泡利矩阵${\sigma }_y$, 即:
$$Y={\sigma }_y=\left[\begin{array}{ccc}0& & -i\\ i& & 0\end{array}\right]$$
量子线路显示如下图:

假设 NOT 门作用在任意量子态 $|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$ 上, 可得到新的量子态如下:
$$|{\psi }^{\prime }⟩=Y|\psi ⟩=\left[\begin{array}{ccc}0& & -i\\ i& & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-i\beta \\ i\alpha \end{array}\right]=-i\beta |0⟩+i\alpha |1⟩$$

Pauli-Z 门

Z 门也称为泡利-Z 门（Pauli-Z gate）, 它作用在单量子比特上, 它的作用是能够使Bloch球上的箭头绕$Z$轴旋转角度$\pi$ .

Pauli-X门矩阵形式为泡利矩阵${\sigma }_z$, 即:
$$Z={\sigma }_z=\left[\begin{array}{ccc}1& & 0\\ 0& & -1\end{array}\right]$$
量子线路显示如下图:

假设 NOT 门作用在任意量子态 $|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$ 上, 可得到新的量子态如下:
$$|{\psi }^{\prime }⟩=Z|\psi ⟩=\left[\begin{array}{ccc}1& & 0\\ 0& & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\alpha \\ -\beta \end{array}\right]=\alpha |0⟩-\beta |1⟩$$

Hadamard (H)门

假设 Hadamard 门作用在任意量子态 $|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$ 上, 可得到新的量子态如下:
$$|{\psi }^{\prime }⟩=H|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{ccc}1& & 1\\ 1& & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}\alpha +\beta \\ \alpha -\beta \end{array}\right]=\frac{\alpha +\beta }{\sqrt{2}}|0⟩+\frac{\alpha -\beta }{\sqrt{2}}|1⟩$$

S 门

假设 S 门作用在任意量子态 $|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$ 上，可得到新的量子态如下：
$$|{\psi }^{\prime }⟩=S|\psi ⟩=\left[\begin{array}{ccc}1& & 0\\ 0& & i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\alpha \\ i\beta \end{array}\right]=\alpha |0⟩+i\beta |1⟩$$
从上面的表达式可以看出，S 门将量子态 $|1⟩$ 的相位旋转了 $90^{\circ }$ 或 $\pi /2$ 弧度，而量子态 $|0⟩$ 的相位保持不变。

T 门

CNOT(Control-NOT) 门

SWAP 门

iSWAP 门

Control-Z 门（CZ门）

假设有两个量子比特初始状态为 $|\psi ⟩=\alpha |00⟩+\beta |01⟩+\gamma |10⟩+\delta |11⟩$，当CZ门作用在这个态上时，新的量子态 $|{\psi }^{\prime }⟩$ 将会变为：
$$|{\psi }^{\prime }⟩=CZ|\psi ⟩=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \\ \gamma \\ -\delta \end{array}\right]$$
从上面的表达式可以看出，只有当两个量子比特都处于|1⟩态时，CZ门才会对量子态产生相位翻转。

Toffoli 门

假设有三个量子比特初始状态为 $|\psi ⟩=\alpha |000⟩+\beta |001⟩+\gamma |010⟩+\delta |011⟩+ϵ|100⟩+\zeta |101⟩+\eta |110⟩+\theta |111⟩$，当Toffoli门作用在这个态上时，新的量子态 $|{\psi }^{\prime }⟩$ 将会变为：
$$|{\psi }^{\prime }⟩=CCNOT|\psi ⟩=\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta \\ ϵ\\ \zeta \\ \eta \\ \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta \\ ϵ\\ \zeta \\ \theta \\ \eta \end{array}\right]$$
从上面的表达式可以看出，只有当两个控制比特都处于 |1⟩ 态时，Toffoli门才会对目标比特的状态产生翻转。

测量操作

我们可以将测量视为一种量子门, 测量具有改变量子比特状态并确定其到底是0 还是1 的作用. 通过测量, 我们可以由量子比特所处的叠加态得到非0 即1 的经典比特的状态.

测量操作在线路上的显示如图:

直到测量的那一瞬间, 量子态才变为确定的状态.