随机响应面法

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随机响应面法

响应面与随机响应面

不论是响应面法还是随机响应面法都属于数值拟合的范畴，不少朋友会把拟合与插值搞混，这里加以区分以下，插值是要求所有样本点都在所的函数曲线之上，换句话说，插值是将样本点用曲线“串”起来的过程。拟合则有些不同，它是指通过距离最小原则，即每个点到最终拟合好的函数之间的距离之和最小来表明拟合程度好坏的一种方式，可想而知，样本点不一定在拟合函数上。插值与拟合各有自己优势，感兴趣的朋友可以找本数值分析了解一下。

书归正传，响应面法和随机响应面法的区别有二，一、随机响应面所使用的多项式是Hermite随机多项式，而响应面法使用的是简单的多项式，且多用不含交叉项的二次多项式作为拟合多项式。二、随机响应面法更加适合拉丁超立方抽样作为其配点方法，而响应面法一般使用概率配点法。

响应面

说到这，大家一定觉得响应面法有些飘渺难以理解，没关系，只要从字面理解响应面三个字就可以了，“响应”是指系统对输入数据反馈，举个简单的例子，一个包含x,y的函数z=x+y，输入x=1,y=1，即可得到该系统的响应值z=2。下面理解“面”的概念，假设现在有一个二元函数，Z=X² +Y²，他在三维空间是什么样子的呢？我们通过Matlab来绘制一下把。

代码如下：

x=linspace(-2,2); y=linspace(-2,2); [x y]=meshgrid(x,y); z=x.^2+y.^2; surf(x,y,z) shading interp 

可见，绘制出的图像是三维空间的一个曲面，那么有人会问，假如这个函数是M=X²+Y²+Z²呢？它是不能在三维空间标识出来的，确实，所以此时我们称之为高维面，已经超出我们观察能力范围的面都视为高维面。既然都是响应系统，也都有面的性质，那么就能理解为什么叫“响应面”了。

响应面分析流程大致分为7步：

1. 选取含待定系数的响应面函数代替不能明确表达的实际功能函数，常用多项式功能函数。
2. 确定各个随机变量的概率分布形式和取样范围。
3. 根据功能函数和随机变量分布，选用一定数量的样本点。
4. 使用样本点数据，建立合适的模型（比如有限元计算）求解实际功能响应。使用N各样本点数据，可以得到系统在N个样本点处的响应值。
5. 将样本点及其功能响应数据代入响应面函数，建立线性方程组，求解待定系数，从而获得明确的响应面函数。
6. 基于响应面函数进行一些列操作
7. 如果想得到更加精确的响应面模型，则可以迭代计算，重新取样，求解新的响应面函数。

随机响应面

为接近岩土工程实际，需要考虑岩土体应力-应变关系和渗流等作用的影响，采用有限元方法（或借助于有限元软件）分析边坡变形与稳定性，一般情况下所获得的边坡输出响应量（安全系数、位移、应力、孔隙水压力和渗透坡降等）是岩土体物理力学参数的非线性隐式函数。因此，在获得岩土体物理力学输入参数模型之后，为了便于可靠度分析，一般需要首先建立边坡输出响应量的代理模型，即建立输出响应量与输入参数之间的近似显示函数关系，再采用常规可靠度分析方法计算可靠度。本文采用Hermite随机多项式（PCE）建立输出输出响应量与输入参数间的近似显示函数关系。

Hermite随机多项式

Hermite多项式项数

Hermite随机多项式的项数是由其维度和阶次确定的，假设N_c为随机多项式展开的项数，N为维度，p为阶次，则随机多项式项数可由下面的公式求出：

Hermite随机多项式的推导

一维Hermite多项式

一维Hermite多项式既可以由微分方程求得，也可以使用递推公式求得：

1. 微分方程
   
   
2. 递推公式
   
   通过以上两种方法可以推导出一维Hermite多项式：
   
   
   
   

高维Hermite多项式

随机多项式系数的计算

随机响应面法最终可以通过最小二乘法计算，计算出每一个多项式前的未知系数，从而得到显式功能函数。

Pei_Number=140; x1=[0. 0. -0. -0. -0. 0. -0.0 -0. 0. 1. -1. -2. 0. -0. 1. -2. -0. -0. 0.07418 -0. 0. 0. -0. -1. -1. -0. -0. 0. 0. -0.0 0.0 0. 0. -1. 0. -0. 0. 0.0 0. -0. 1. -0. 0. 1. 1. 1. -0. 0. -0. -2.0 0. -1.0 -0. 0. 0. 0. -0. 1. 0. 1.0 0. -1. -0.0 -0. -1. -0. 0. -0. -0. 1. -1. 0. -0.0 0. 1. -0. -0. 1. -1. -0. -0. -1.0 -0. -1. 2.0 2. 0. -1.33246 1. -0. 0. -1. 1. 0. -0. 0. 0. -0. 3. -1. 0. 1. -0. -0. -1.038013 -0. -0. -0. 0.0 -0. 1. -0. -1. -1. 1. 0.0 0. 0. -0.0 -0. 0. 1.0 0. 0. -0. 0.39712 -1. 1.0 0.