电动力学专题:闵氏几何（伪欧几何）

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相对性原理和光速不变
- 物理定律在所有的惯性参考系里都是平等的，不存在一个特殊的惯性系。
- 真空中的光速在所有的惯性系里都是一样的。

洛伦兹变换

$\left\{\begin{matrix} x=ct\\ x'=ct \end{matrix}\right. \rightarrow \left\{\begin{matrix} x'=\gamma \cdot (x-vt)\\ x=\gamma \cdot (x'+vt') \end{matrix}\right.$

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

$x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}}; t'=\frac{-v/c^2\cdot x+t}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

距离度量：闵氏(Min’s geometry)

狭义相对论下，不随惯性系变化的量 $\Delta s^2=\Delta x^2+\Delta y^2 + \Delta z^2 - (\Delta t \times c)^2$
闵式距离（时空间隔）
- 不会随着参考系的变化而变化的

度规

度规是指在一个向量空间内定义了向量之间的距离和角度测量方式的一种数学工具。度规矩阵则是基于度规的概念，它是用来描述向量空间中不同向量之间距离和夹角的矩阵。这个矩阵是对称正定的，它的每一个元素是两个向量在对应方向上的内积。在广义相对论中，度规矩阵是用来描述时空的几何结构和引力场的强度的。

线元决定几何

欧式几何就是由欧式线元（dl²=dx²+dy²）决定的几何
闵氏几何就是由闵氏线元（ds²=-dt²+dx²）决定的几何
几何单位制：选择光速c=1

时空图

代表粒子全部历史的线就叫粒子的世界线
在时空图里，45°的斜直线代表了光子的世界线，比光子世界线更陡，更加靠近t轴的斜直线是有质量粒子匀速直线运动，或者说惯性运动（速度小于光速）的世界线
三类曲线：
- d^2>0 的曲线称为类空曲线 spacelike curve；
- d^2<0 的曲线称为类时曲线 timelike curve；
- d^2=0 的曲线称为类光曲线 lightlike curve。

闵氏几何的度规和线长

$S=\sqrt{|-\Delta t^2+\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2|}$

光子的世界线长度恒为0

校准曲线

校准曲线:到原点距离相等的点组成的轨迹

固有时

世界线的线长等于固有时

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