函数、导数与微分 高数复习笔记

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1.函数

1.1 定义

函数f 是从一个集合 D（称为定义域，D包含于实数集R）到另一个集合 Y（称为值域）的映射。对于定义域中的每一个元素 x，函数f都指定了一个唯一的元素 y 在值域中，记作

$$y=f\left(x\right),x\in X$$

其中x叫做自变量，y叫做因变量，f叫做映射规则，f(x)表示一个函数值。

函数的两要素是指函数的定义域和值域。

定义域是函数中所有可能的输入值的集合。换句话说，定义域是使得函数有意义的所有 xx 值的集合。

值域是函数中所有可能的输出值的集合。换句话说，值域是函数 f(x)f(x) 在定义域内所有可能的 yy 值的集合。

常见函数类型

1. $$f(x)=ax+b$$
   

   线性函数：

   ，其中 a 和 b 是常数。

2. $$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$$
   

   多项式函数：

   ，其中 ai是常数。

3. $$f(x)=a^x$$
   

   指数函数：

   ，其中 a>0 且 a≠1。

4. $$f(x)=lo{g}_a(x)$$
   

   对数函数：

   ，其中 a>0 且 a≠1。

5. 三角函数

• 正弦函数（sin）：
  $$sin(\theta )=\frac{对边}{斜边}$$
  
• 余弦函数（cos）：
  $$cos(\theta )=\frac{邻边}{斜边}$$
  
• 正切函数（tan）：
  $$tan(\theta )=\frac{对边}{邻边}=\frac{sin(\theta )}{cos(\theta )}$$
  

2. 基本关系

这个恒等式可以从直角三角形的勾股定理推导出来。

1.3. 三角函数的周期性

• 正弦函数和余弦函数：
  $$sin(\theta +2k\pi )=sin(\theta )$$
  

  $$cos(\theta +2k\pi )=cos(\theta )$$

  其中，k 是任意整数。

• 正切函数：
  $$tan(\theta +k\pi )=tan(\theta )$$
  其中，k 是任意整数。
  
  

1.4. 三角函数的对称性

• 正弦函数：
  $$sin(-\theta )=-sin(\theta )$$
  
• 余弦函数：
  $$cos(-\theta )=cos(\theta )$$
  
• 正切函数：
  $$tan(-\theta )=-tan(\theta )$$
  

1.5. 三角函数的和差公式

• 正弦函数的和差公式：
  $$sin(A\pm B)=sin(A)cos(B)\pm cos(A)sin(B)$$
  
• 余弦函数的和差公式：
  $$cos(A\pm B)=cos(A)cos(B)\mp sin(A)sin(B)$$
  
• 正切函数的和差公式：
  $$tan(A\pm B)=\frac{tan(A)\pm tan(B)}{1\mp tan(A)tan(B)}$$
  

1.6. 三角函数的倍角公式

• 正弦函数的倍角公式：
  $$sin(2\theta )=2sin(\theta )cos(\theta )$$
  
• 余弦函数的倍角公式：
  $$cos(2\theta )=cos{}^2(\theta )-sin{}^2(\theta )=2cos{}^2(\theta )-1=1-2sin{}^2(\theta )$$
  
• 正切函数的倍角公式：
  $$tan(2\theta )=\frac{2tan(\theta )}{1-tan{}^2(\theta )}$$
  

1.7. 三角函数的半角公式

• 正弦函数的半角公式：
  $$sin(\frac{\theta }{2})=\pm \sqrt{\frac{1-cos(\theta )}{2}}$$
  
• 余弦函数的半角公式：
  $$cos(\frac{\theta }{2})=\pm \sqrt{\frac{1+cos(\theta )}{2}}$$
  
• 正切函数的半角公式：
  $$tan(\frac{\theta }{2})=\pm \sqrt{\frac{1-cos(\theta )}{1+cos(\theta )}}$$
  

1.2函数的特性

1.2.1 有界性

• M 称为函数的上界。
• m 称为函数的下界。

一个函数有界的充要条件：既有上界，又有下界。

分类

根据函数的有界性，可以分为以下几种情况：

1. 有界函数：如果函数 f(x) 在其定义域 D 上既有上界又有下界，则称 f(x) 是有界函数。
2. 无界函数：如果函数 f(x) 在其定义域 D 上没有上界或没有下界，则称 f(x) 是无界函数。

1.2.2 单调性

定义

一个函数 f(x) 在其定义域 D 上称为单调的，如果对于定义域中的任意 x1 和 x2，当 x1<x2 时，有：

• 单调递增：如果 f(x1)≤f(x2)，则函数 f 是单调递增的。
• 严格单调递增：如果 f(x1)<f(x2)，则函数 f 是严格单调递增的。
• 单调递减：如果 f(x1)≥f(x2)，则函数 f 是单调递减的。
• 严格单调递减：如果 f(x1)>f(x2)，则函数 f 是严格单调递减的。

1.2.3 奇偶性

定义

一个函数 f(x) 在其定义域 D 上称为：

• 偶函数：如果对于定义域中的任意 x，都有 f(−x)=f(x)，则函数 f 是偶函数。偶函数的图形关于 y 轴对称。
• 奇函数：如果对于定义域中的任意 x，都有 f(−x)=−f(x)，则函数 f是奇函数。奇函数的图形关于原点对称。

1.2.4 周期性

定义

1.2.极限

1.2.1 数列极限

定义

1. 唯一性：如果数列 {an}收敛，则其极限是唯一的。
2. 有界性：如果数列 {an}收敛，则它是有界的。
3. 保序性：如果数列 {an} 和 {bn} 都收敛，且对于所有 n，都有 an≤bn，则
   $$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\le \underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$$
   
4. 四则运算：如果数列 {an}和 {bn} 都收敛，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，并且满足相应的极限运算法则。
   极限的判定
   
5. 直接法：
   • 通过分析数列的通项公式，直接计算其极限。
   • 例如，数列
     { a n } = ( n 2 + 1 2 n 2 + 3 ) \{a_{n}\}=(\dfrac{n^{2}+1}{2n^{2}+3}) {
     an​}=(2n2+3n2+1​)
     ，计算其极限：
     $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2+1}{2n^2+3}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{3}{n^2}}=\frac{1}{2}$$
     
     
     
6. 夹逼定理：
   • 如果数列 {an}、{bn} 和 {cn} 满足 an≤bn≤cn，且
     $$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=L$$
     ，则
     $$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=L$$
     
     
     

1.2.3 无穷大与无穷小

1. 无穷大：如果对于任意大的正数 M，总存在正数 δ，使得当 0<∣x−a∣<δ时，有 ∣f(x)∣>M，则称 f(x)在 x 趋近于 a 时趋向于无穷大，记作
   $$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\infty$$
   无穷大分为正无穷大和负无穷大。
   
   

   无穷大加无穷大不确定，因为如果负无穷大加正无穷大不知道为多少；同理无穷大减无穷大也不确定；无穷大除以无穷大也不确定；

   无穷大乘无穷大肯定为无穷大。

2. 无穷小：如果
   $$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=0或\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=0$$
   ，则称 f(x)在 x 趋近于a或趋近于∞ 时的无穷小。
   
   

   运算法则：

   1.无穷小加、减、乘无穷小都是无穷小

   2.有界函数与无穷小的乘积也为无穷小

   3.常数与无穷小的乘积也为无穷小

   4.无穷小除以无穷小不确定。

   注意：无穷小和负无穷大的区别及无穷小和非常小的数的区别。

   负无穷大也是无穷大，不是无穷小；非常小的数是一个常数，不是无穷小。

如果f(x)是无穷大，则1/f(x)为无穷小；如果f(x)是无穷小，则1/f(x)为无穷大。

3. 高阶无穷小

   设 α和 β 是两个无穷小量（即当 x→a时， α→0且 β→0）。

4. 低阶无穷小

设 α 和 β 是两个无穷小量。

5. 同阶无穷小

   设 α 和 β 是两个无穷小量。

6. 等价无穷小
   • 设 α 和 β 是两个无穷小量（即当 x→a 时， α→0且 β→0）。
   • 如果
     $$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\alpha }{\beta }=1$$
     ，则称 α 和 β 是等价无穷小，记作 α∼β。
     
     
7. k阶无穷小
   • 设 α和 β 是两个无穷小量，且
     $$\beta =o(x^k)当x\to 0$$
     
   • 如果
     $$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\alpha }{{\beta }^k}=c（其中c是一个非零常数）$$
     ，则称 α 是 β 的 k 阶无穷小。
     
     

1.2.4 无穷大极限

函数 f(x) 当 x趋于无穷大时，如果存在一个常数 A，使得对于任意小的正数 ϵ，总存在一个正数 X，使得当 ∣x∣>X 时， ∣f(x)−A∣<ϵ，则我们说 f(x) 当 x 趋于无穷大时的极限是 A。

具体分类：

1. 当 x→+∞ 时的极限：
   • 如果存在一个常数 A，使得对于任意小的正数 ϵ，总存在一个正数 X，使得当 x>X时， ∣f(x)−A∣<ϵ，则我们说 f(x)当 x→+∞ 时的极限是 A，记作
     $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=A$$
     
2. 当 x→−∞时的极限：
   • 如果存在一个常数 A，使得对于任意小的正数 ϵ，总存在一个正数 X，使得当 x<−X时， ∣f(x)−A∣<ϵ，则我们说 f(x) 当 x→−∞时的极限是 A，记作
     $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=A$$
     

2.导数

1.2.1 导数定义

• Δx 是一个很小的增量，表示 x 的变化量。
• $$f(x_0+\Delta x)$$

  是 x 在 x0 点增加 Δx 后的函数值。

• f(x0) 是 x 在 x0 点的函数值。
• $$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

  是函数在 x=x0 处的平均变化率。

• $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }$$

  表示当 Δx 趋近于 0 时的极限。

• 平均变化率：在 x=x0 和 x=x0 + Δx 之间，函数的平均变化率是
  $$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
  。这个比值表示函数在这段区间内的平均变化速度。
  
  
• 瞬时变化率：当 Δx 趋近于 0 时，平均变化率的极限值就是函数在 x=x0处的瞬时变化率，即导数 f′(x0)。

2.导数

2.1.导数的几何意义

2.1.1 切线

• y 是切线上的点的纵坐标。
• f(a) 是函数在点 x=a 处的值。
• f′(a) 是函数在点 x=a 处的导数，即切线的斜率。
• x 是切线上的点的横坐标。
• a 是切点处的横坐标。

2.1.2 法线

其中：

• y 是法线上的点的纵坐标。
• f(a是函数在点 x=a处的值。
• f′(a)是函数在点 x=a处的导数，即切线的斜率。
• x 是法线上的点的横坐标。
• a 是法线点处的横坐标。

2.2.可导与连续的关系

2.2.1 定义

连续性

可导性

所以从连续和可导定义看出，可导的条件比连续的条件更严格。

2.2.2 定理

1.可导性蕴含连续性

如果函数 f(x) 在点 x=a处可导，那么它在点 x=a 处连续。

反例：考虑函数 f(x)=∣x|在 x=0处是否可导。

证明：

可导性：

2.3.求导公式

2.3.1 求导规则

1. 常数规则：
   $$\frac{d}{dx}(c)=0$$
   

   其中 c 是常数。

2. 幂函数规则：
   $$\frac{d}{dx}(x^n)=n{x}^{n-1}$$
   

   其中 n 是任意实数。

3. 常数倍规则：
   $$\frac{d}{dx}(c\cdot f(x))=c\cdot f\prime (x)或(cv{)}^{\prime }=c{v}^{\prime }$$
   

   其中 c 是常数。

4. 和差规则：
   $$\frac{d}{dx}(f(x)\pm g(x))=f\prime (x)\pm g\prime (x)或(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$$
   
5. 乘积规则：
   $$\frac{d}{dx}(f(x)\cdot g(x))=f\prime (x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g\prime (x)或(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$$
   
6. 商规则：
   $$\frac{d}{dx}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{f\prime (x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g\prime (x)}{[g(x){]}^2}或(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$$
   

   其中 g(x)≠0。

7. 链式法则(复合函数求导)：
   $$\frac{d}{dx}(f(g(x)))=f\prime (g(x))\cdot g\prime (x)或\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx}$$
   

2.3.2 常见函数的求导公式

1. 指数函数：
   $$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$$
   

   $$\frac{d}{dx}(a^x)=a^{x}ln(a)$$

   其中 a>0且 a≠1。

2. 对数函数：
   $$\frac{d}{dx}(lnx)=\frac{1}{x}$$
   

   $$\frac{d}{dx}(log{}_a(x))=\frac{1}{xln(a)}$$

   其中 a>0且 a≠1。

3. 三角函数：
   $$\frac{d}{dx}(sin(x))=cos(x)$$
   

   $$\frac{d}{dx}(cos(x))=-sin(x)$$

   $$\frac{d}{dx}(tan(x))=se{c}^2(x)=\frac{1}{co{s}^2(x)}$$

4. 反三角函数：
   $$\frac{d}{dx}(arcsin(x))=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
   

   $$\frac{d}{dx}(arccos(x))=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

   $$\frac{d}{dx}(arctan(x))=\frac{1}{1+x^2}$$

2.4.高阶导数

2.4.1定义

高阶导数的符号表示

• 一阶导数：
  $$f\prime (x)或\frac{dy}{dx}$$
  
• 二阶导数：
  $$f^{\prime \prime }(x)或\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$$
  
• 三阶导数：
  $$f^{\prime \prime \prime }(x)或\frac{d^{3}y}{d{x}^3}$$
  
• n 阶导数：
  $$f^{(n)}(x)或\frac{d^{n}y}{d{x}^n}$$
  

2.5.隐函数求导

1. 对方程两边求导：假设有一个隐式方程 F(x,y)=0，我们对方程两边分别对 x 求导。
2. 使用链式法则：在求导过程中，如果遇到 y 的函数，需要使用链式法则，将 y 视为 x 的函数。
3. 通过求导得到的方程，解出 dy/dx。

2.6.参数方程求导

参数方程求导的基本步骤

1. 求 x 对 t 的导数：
   $$\frac{dx}{dt}=f\prime (t)$$
   
2. 求 y对 t 的导数：
   $$\frac{dy}{dt}=g\prime (t)$$
   
3. 求 dy/dx：
   $$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{g\prime (t)}{f\prime (t)}$$
   

3.微分

3.1.定义

微分是函数在某个变化过程中的改变量的线性主要部分。

3.2.可微的充要条件

函数 f(x) 在点 x=a 处可微的充要条件是：

1. 函数在点 x=a处连续：
   $$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$$
   
2. 函数在点 x=a 处左右导数存在且相等：
   $$f_{-}^{\prime }(a)=f_{+}^{\prime }(a)$$
   

简单来说，就是可微的充要条件是函数 f(x) 在点 x=a 处可导。

3.3.微分公式与法则

3.4.微分的几何意义

$$\begin{gathered} △y\approx f^{\prime }(x_0)△x \\ f(x_0+△x)=△y+f(x_0)\approx f^{\prime }(x_0)△x+f(x_0) \end{gathered}$$
所以微分提供了一种在局部范围内用直线近似曲线的方法，这对于理解和分析函数的行为非常有用。

3.5.微分中值定理

3.5.1 罗尔定理

如果函数 f(x)满足以下条件：

1. 在闭区间 [a,b]上连续。
2. 在开区间 (a,b)上可导。
3. 在区间端点的函数值相等，即 f(a)=f(b)。

那么，在开区间 (a,b)内至少存在一点 c，使得：f′©=0

罗尔定理的几何意义是：如果函数 f(x) 在区间 [a,b]上的两个端点处的函数值相等，那么在区间 (a,b)内至少存在一点 c，使得该点处的切线是水平的（即导数为零）。

3.5.2 拉格朗日中值定理

如果函数 f(x)满足以下条件：

1. 在闭区间 [a,b] 上连续。
2. 在开区间 (a,b)上可导。

罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，从图形上理解就是将拉格朗日中值定理图像中的b点向下旋转，使f(b)=f(a)，此时两端点之间连线的斜率为0。

3.5.3 柯西中值定理

如果函数 f(x) 和 g(x) 满足以下条件：

1. 在闭区间 [a,b]上连续。
2. 在开区间 (a,b)上可导。
3. 在开区间 (a,b) 内，g′(x)≠0。

怎么理解柯西中值定理？

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{g^{\prime }(t)}{f^{\prime }(t)}$$

3.5.4 洛必达法则

洛必达法则用于求解不定型极限问题。不定型极限是指在求极限时，分子和分母都趋向于零（即 0/0 型）或分子和分母都趋向于无穷大（即 ∞/∞ 型）的情况。洛必达法则通过求导数来简化这些极限的计算。

设函数 f(x)和 g(x 满足以下条件：

1. 在点 a 的某个去心邻域内可导，且 g′(x)≠0。
2. $$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=0且\underset{x\to a}{\lim }g(x)=0，或者\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\pm \infty 且\underset{x\to a}{\lim }g(x)=\pm \infty 。$$