精度及其3σ准则

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1 精度的概念

2 标准差

2.1 数学期望（mean）

2.2 方差（variance）

2.3 标准差（standard deviation）

标准差，又称均方差，标准差定义是总体各单位标准值与其平均数离差平方和的算术平均数的平方根，即标准差是方差的算术平方根，用σ表示。$\sigma =\sqrt{D(X)}$，即
$$\sigma =\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$
标准差能反映一个数据集的离散程度。简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。平均数相同的两组数据，标准差未必相同。

3 3σ准则

3.1 正态分布

3.2 3σ准则

3.3 如何理解3σ准则下的精度指标

以下纯属个人理解，欢迎讨论。

1. 进行设备的精度评估时，根据测量的数据集得出标准差σ后，就得出这个设备在特定概率下的精度。举例来说，假设计算得出的σ为1μm，则结论就是：在68.27%概率下设备精度1μm，在95.45%概率下设备精度为2μm，在99.73%概率下设备精度为3μm，与设备要求的精度指标对比，就可评价该设备是否满足精度要求。
2. 设备的精度应该都是在一定概率条件下的，比如说标明1μm精度(3σ)指标的设备，理论上依然有0.27%的概率达不到1μm这个精度，而标明1μm精度(1σ)指标的设备，理论上就有31.73%的概率达不到1μm这个精度，但这并不是说该设备就不合格不能用，而是要根据自己的使用要求来评估这个设备是否适合用。这也说明，很多设备只提精度指标，而不标注是几个σ条件下，是不严谨和不完整的。
3. 设备的精度指标按照3σ准则提出后，实际上就是提出了设备试验数据集的标准差σ的要求，最终试验数据的标准差如果在此范围内，精度就符合要求，否则精度就不符合要求。同时，实际工程中，由于3σ的概率≈1，所以3σ的精度指标一般就是要求设备数据集的标准差σ必须小于所提的精度的1/3。

4 附 其它常见误差概念

以上提到了统计及误差理论中的几个重要概念，实际上还有很多类似的概念，这里再列出几个，以备比较。

4.1 均方误差（mean square error, MSE）

均方误差是各数据偏离真实值的距离平方的平均数，也即误差平方和的平均数，计算公式形式上接近方差，但不完全一样，如果只有一组数据，样本方差就是均方误差。

4.2 均方根误差（root mean squared error, RMSE）

均方误差的开方叫均方根误差，同样，一定条件下，均方根误差就是标准差。

4.3 均方根（root mean square, RMS）

均方根值（RMS）也称为有效值，它的计算方法是先平方、再平均、然后开方，即$X_{rms}=\sqrt{\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2}$

4.4 极差（range）

极差又称范围误差或全距，以R表示，是用来表示统计资料中的变异量数(measures of variation)，其最大值与最小值之间的差距，即最大值减最小值后所得之数据。