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一、对偶问题的对称形式
1 . 对称形式特点 :
- 目标函数求最大值时 , 所有约束条件都是 小于等于 ≤ \leq ≤ 符号 , 决策变量大于等于 0 0 0 ;
- 目标函数求最小值时 , 所有约束条件都是 大于等于 ≥ \geq ≥ 符号, 决策变量大于等于 0 0 0 ;
2 . 原问题 P P P 的线性规划模型是 :
m a x Z = C X s . t { A X ≤ b X ≥ 0 \begin{array}{lcl} maxZ = C X \\\\ s.t\begin{cases} AX \leq b \\\\ X \geq 0 \end{cases}\end{array} maxZ=CXs.t⎩⎪⎨⎪⎧AX≤bX≥0
对称形式 P P P 要求 :
- 目标函数求最大值
- 约束方程是 小于等于 不等式
相关系数 :
- 目标函数系数是 C C C
- 约束方程系数是 A A A
- 约束方程常数是 b b b
3 . 对偶问题 D D D 的线性规划模型是 :
m i n W = b T Y s . t { A T Y ≥ C T Y ≥ 0 \begin{array}{lcl} minW = b^T Y \\\\ s.t\begin{cases} A^TY \geq C^T \\\\ Y \geq 0 \end{cases}\end{array} minW=bTYs.t⎩⎪⎨⎪⎧ATY≥CTY≥0
对偶问题 D D D 要求 :
- 求最小值
- 约束方程时 大于等于 不等式
相关系数 :
- 目标函数系数是 b T b^T bT
- 约束方程系数是 A T A^T AT
- 约束方程常数是 C T C^T CT
二、对偶问题实例
写出如下线性规划对偶问题 :
m a x Z = 2 x 1 − 3 x 2 + 4 x 3 s . t { 2 x 1 + 3 x 2 − 5 x 3 ≥ 2 3 x 1 + x 2 + 7 x 3 ≤ 3 − x 1 + 4 x 2 + 6 x 3 ≥ 5 x j ≥ 0 ( j = 1 , 2 , 3 ) \begin{array}{lcl} maxZ = 2x_1 – 3x_2 + 4x_3 \\\\ s.t\begin{cases} 2 x_1 + 3x_2 – 5x_3 \geq 2 \\\\ 3x_1 + x_2 + 7x_3 \leq 3 \\\\ -x_1 + 4x_2 + 6x_3 \geq 5 \\\\ x_j \geq 0 \quad ( j = 1, 2, 3 ) \end{cases}\end{array} maxZ=2x1−3x2+4x3s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧2x1+3x2−5x3≥23x1+x2+7x3≤3−x1+4x2+6x3≥5xj≥0(j=1,2,3)
将上述线性规划转为 对称形式 :
- 目标函数最大值 : 对称形式目标函数求最大值 , 上述线性规划符合该条件 , 不用进行修改 ;
- 约束方程小于等于不等式 : 对称形式的约束方程都是小于等于不等式 , 方程 1 1 1 和方程 3 3 3 都是大于等于不等式 , 不符合要求 ; 将不等式左右两边都乘以 − 1 -1 −1 , 可以将大于等于不等式转为小于等于不等式 ;
转换后的结果为 :
m a x Z = 2 x 1 − 3 x 2 + 4 x 3 s . t { − 2 x 1 − 3 x 2 + 5 x 3 ≤ − 2 3 x 1 + x 2 + 7 x 3 ≤ 3 x 1 − 4 x 2 − 6 x 3 ≤ − 5 x j ≥ 0 ( j = 1 , 2 , 3 ) \begin{array}{lcl} maxZ = 2x_1 – 3x_2 + 4x_3 \\\\ s.t\begin{cases} -2 x_1 – 3x_2 + 5x_3 \leq -2 \\\\ 3x_1 + x_2 + 7x_3 \leq 3 \\\\ x_1 – 4x_2 – 6x_3 \leq -5 \\\\ x_j \geq 0 \quad ( j = 1, 2, 3 ) \end{cases}\end{array} maxZ=2x1−3x2+4x3s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧−2x1−3x2+5x3≤−23x1+x2+7x3≤3x1−4x2−6x3≤−5xj≥0(j=1,2,3)
对称形式 的 目标函数的系数 为 C = ( 2 − 3 4 ) C = \begin{pmatrix} & 2 & -3 & 4 & \end{pmatrix} C=(2−34) , 约束方程的系数 为 A = ( − 2 − 3 5 3 1 7 1 − 4 − 6 ) A = \begin{pmatrix} &-2 & -3 & 5 & \\ &3 & 1 & 7 & \\ &1 & -4 & -6 & \\ \end{pmatrix} A=⎝⎛−231−31−457−6⎠⎞ , 约束方程常数 b = ( − 2 3 − 5 ) b = \begin{pmatrix} &-2 &\\ &3 & \\ &-5 & \\ \end{pmatrix} b=⎝⎛−23−5⎠⎞ ;
对偶问题 的 目标函数系数 为 b T = ( − 2 3 − 5 ) b^T = \begin{pmatrix} & -2 & 3 & -5 & \end{pmatrix} bT=(−23−5) , 约束方程的系数 为 A T = ( − 2 3 1 − 3 1 − 4 5 7 − 6 ) A^T = \begin{pmatrix} &-2 & 3 & 1 & \\ &-3 & 1 & -4 & \\ &5 & 7 & -6 & \\ \end{pmatrix} AT=⎝⎛−2−353171−4−6⎠⎞ , 约束方程常数 C T = ( 2 − 3 4 ) C^T = \begin{pmatrix} & 2 &\\ &-3 & \\ &4 & \\ \end{pmatrix} CT=⎝⎛2−34⎠⎞ ;
线性规划形式 :
- 对称形式 : 求目标函数最大值 , 约束方程是求小于等于不等式 ;
- 对偶问题 : 求目标函数求最小值 , 约束方程都是大于等于不等式 ;
根据上述分析 , 写出对偶形式 :
m i n W = − 2 y 1 + 3 y 2 − 5 y 3 s . t { − 2 y 1 + 3 y 2 + y 3 ≥ 2 − 3 y 1 + y 2 − 4 y 3 ≥ − 3 5 y 1 + 7 y 2 − 6 y 3 ≥ 4 y j ≥ 0 ( j = 1 , 2 , 3 ) \begin{array}{lcl} minW = -2y_1 + 3y_2 – 5y_3 \\\\ s.t\begin{cases} -2y_1 + 3y_2 + y_3 \geq 2 \\\\ -3y_1 + y_2 – 4y_3 \geq -3 \\\\ 5y_1 + 7y_2 – 6y_3 \geq 4 \\\\ y_j \geq 0 \quad ( j = 1, 2, 3 ) \end{cases}\end{array} minW=−2y1+3y2−5y3s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧−2y1+3y2+y3≥2−3y1+y2−4y3≥−35y1+7y2−6y3≥4yj≥0(j=1,2,3)
原问题 与 对偶问题线性规划分析 :
上述对偶问题线性规划 , 与原问题线性规划 , 明显不互为转置矩阵 ;
原问题线性规划系数为 ( 2 3 − 5 3 1 7 − 1 4 6 ) \begin{pmatrix} &2 & 3 & -5 & \\ &3 & 1 & 7 & \\ &-1 & 4 & 6 & \\ \end{pmatrix} ⎝⎛23−1314−576⎠⎞ , 对偶问题线性规划系数为 ( − 2 3 1 − 3 1 − 4 5 7 − 6 ) \begin{pmatrix} &-2 & 3 & 1 & \\ &-3 & 1 & -4 & \\ &5 & 7 & -6 & \\ \end{pmatrix} ⎝⎛−2−353171−4−6⎠⎞ , 原问题的转置矩阵应该是 ( 2 3 − 1 3 1 4 − 5 7 6 ) \begin{pmatrix} &2 & 3 & -1 & \\ &3 & 1 & 4 & \\ &-5 & 7 & 6 & \\ \end{pmatrix} ⎝⎛23−5317−146⎠⎞ , y 1 , y 3 y_1 , y_3 y1,y3 系数的正负号与原问题的转置矩阵值的符号相反 ;
令 y 1 ′ = − y 1 y_1′ = -y_1 y1′=−y1 , y 3 ′ = − y 3 y_3′ = -y_3 y3′=−y3 , 则得到如下线性规划 :
m i n W = 2 y 1 ′ + 3 y 2 − 5 y 3 ′ s . t { 2 y 1 ′ + 3 y 2 − y 3 ′ ≥ 2 3 y 1 ′ + y 2 + 4 y 3 ′ ≥ − 3 − 5 y 1 ′ + 7 y 2 + 6 y 3 ′ ≥ 4 y 1 ′ ≤ 0 , y 2 ≥ 0 , y 3 ′ ≤ 0 \begin{array}{lcl} minW = 2y_1′ + 3y_2 – 5y_3′ \\\\ s.t\begin{cases} 2y_1′ + 3y_2 – y_3′ \geq 2 \\\\ 3y_1′ + y_2 + 4y_3′ \geq -3 \\\\ -5y_1′ + 7y_2 + 6y_3′ \geq 4 \\\\ y_1′ \leq 0 , y_2 \geq 0 , y_3′ \leq 0 \end{cases}\end{array} minW=2y1′+3y2−5y3′s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧2y1′+3y2−y3′≥23y1′+y2+4y3′≥−3−5y1′+7y2+6y3′≥4y1′≤0,y2≥0,y3′≤0
三、对偶问题规律 ( 目标函数求最大值 )
对偶有以下规律 : 假设原问题 L P LP LP 目标函数求最大值 m a x Z maxZ maxZ , 对偶问题 D P DP DP 求最小值 m i n W minW minW ;
- 原问题 L P LP LP 有 m m m 个约束条件 , 对应对偶问题 D P DP DP 的 m m m 个 约束变量 ;
- 原问题 L P LP LP 有 n n n 个约束变量 , 对应对偶问题 D P DP DP 的 n n n 个 约束条件 ;
约束条件与约束变量的对应关系 ( 目标函数求最大值 ) : 这里特别注意 , 约束条件与约束变量 大于小于符号是相反的 ;
- 如果原问题 L P LP LP 中的约束条件是小于等于 ≤ \leq ≤ 不等式 , 那么对应的 对偶问题 D P DP DP 的约束变量就是大于等于 ≥ 0 \geq 0 ≥0 的 ;
- 如果原问题 L P LP LP 中的约束条件是大于等于 ≥ \geq ≥ 不等式 , 那么对应的 对偶问题 D P DP DP 的约束变量就是小于等于 ≤ 0 \leq 0 ≤0 的 ;
- 如果原问题 L P LP LP 中的约束条件是 = = = 等式 , 那么对应的 对偶问题 D P DP DP 的约束变量就是自由变量 , 即没有任何约束 ;
约束变量与约束条件的对应关系 ( 目标函数求最大值 ) : 这里特别注意 , 约束变量与约束条件 大于小于符号是相同的 ;
- 如果原问题 L P LP LP 中的 约束变量就是大于等于 ≥ 0 \geq 0 ≥0 的 , 那么对应的 对偶问题 D P DP DP 的 约束条件是大于等于 ≥ \geq ≥ 不等式 ;
- 如果原问题 L P LP LP 中的 约束变量就是小于等于 ≤ 0 \leq 0 ≤0 的 , 那么对应的 对偶问题 D P DP DP 的 约束条件是小于等于 ≤ \leq ≤ 不等式 ;
- 如果原问题 L P LP LP 中的 约束变量就是自由变量 , 即没有任何约束 , 那么对应的 对偶问题 D P DP DP 的 约束条件是 = = = 等式 ;
| 原问题 L P LP LP | 对偶问题 D P DP DP |
|---|---|
| – | – |
| 目标函数求最大值 m a x Z maxZ maxZ | 目标函数求最小值 m i n W minW minW |
| – | – |
| 约束条件常数项 | 目标函数系数 |
| 目标函数系数 | 约束条件常数项 |
| – | – |
| m m m 个约束条件 | n n n 个约束变量 |
| n n n 个约束变量 | m m m 个约束条件 |
| – | – |
| 约束条件是小于等于不等式 ≤ \leq ≤ | 约束变量是大于等于 ≥ 0 \geq 0 ≥0 的 |
| 约束条件是大于等于不等式 ≥ \geq ≥ | 约束变量是小于等于 ≤ 0 \leq 0 ≤0 的 |
| 约束条件是等式 | 约束变量是自由变量 ( 没有约束 ) |
| – | – |
| 约束变量是大于等于 ≥ 0 \geq 0 ≥0 的 | 约束条件是大于等于不等式 ≥ \geq ≥ |
| 约束变量是小于等于 ≤ 0 \leq 0 ≤0 的 | 约束条件是小于等于不等式 ≤ \leq ≤ |
| 约束变量是自由变量 ( 没有约束 ) | 约束条件是等式 |
记住一条 : 目标函数求最大值 , L P LP LP 约束条件与 D P DP DP 约束变量符号相反 , L P LP LP 约束变量 与 D P DP DP 约束条件符号相同 ;
补一张图 , 方便记忆 :
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