03 – 频偏估计

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一、 频偏估计

出现载波频率偏移（CFO），其原因通常有

• 发送端和接收端振荡器之间的频率不匹配
• 多普勒效应

1.1 信号加频偏

若输入信号为 $u(t)$ ，则增加频偏后的信号 $y(t)$ 表示为
$$y(t)=u(t)\ast \left(cos\left(2\pi {\int }_0^{t}f(\tau )d\tau +\psi (t)\right)+jsin\left(2\pi {\int }_0^{t}f(\tau )d\tau +\psi (t)\right)\right)$$
其中 $f(t)$ 表示频偏， $\psi (t)$ 表示相偏

其中 $\Delta t$ 表示采样时长，其倒数 $f_s$ 为频域采样率，即 $[-\pi ,\pi ]$ 的频域分辨率

• 频偏最终都会累计体现在相位偏移上
• 在星座图上，相偏会导致星座图旋转；对于每一个复数，相偏则改变其实部与虚部的大小
• 对于某一时刻的信号，相偏为定值（假定系统只会产生相偏），故相偏会使信号星座图旋转一定的角度；而频偏对信号而言是一个累计量，更确切地说，频偏对系统是一个累积量，故同一个信号在不同时刻经过存在频偏的系统，输出信号的相位值是不一样的，而且进入系统的时间越晚，相位变化越大，体现在星座图上，也就是旋转的角度越大

1.2 频偏估计算法

• 基于相关性的频偏估计

  文献 [1] 描述了一种基于相关性的估计算法，用于估计 PSK(Phase-shift keying) 与 PAM(Phase Amplitude Modulation) 信号的频偏。对 $exp(j2\pi \Delta ft)$ 求似然估计 (ML, Maximum Likelihood)，从而得到信号频偏 $\Delta f$

• 基于 fft 的频偏估计

  基于 fft 的估计算法适用于估算不同调制方式下的信号频偏，一些粗频偏补偿器使用该算法以支持不同调制方式的信号处理

  该算法在接收信号序列作 $m$ 次乘方运算的基础上，使用周期图法估计频偏 $\Delta \hat{f}$ ，计算公式为
  $$\Delta \hat{f}=\frac{f_{samp}}{N\ast m}arg\underset{f}{\max }\left|\sum _{k=0}^{N-1}{r}^m(k)e^{-j2\pi kt/N}\right|,-\frac{R_{sym}}{2}\le f\le \frac{R_{sym}}{2}$$
  其中 $m$ 为调制阶数，$r(k)$ 为接收序列，$R_{sym}$ 为符号速率，$N$ 为序列样本数量
  
  

  实质上，就是在 $[-R_{sym}/2,R_{sym}/2]$ 范围内，找一个 $f$ 使接收序列的 $m$ 次方在时域的均值最大。该公式在形式上也可以看作是 $r^m(t)$ 的离散傅里叶变换，寻找 $f$ 使时域平均最大，等同于找 $r^m(t)$ 频谱峰值所在的频点。

文献 [1] Carrier frequency recovery in all-digital modems for burst-mode transmissions | IEEE Journals & Magazine | IEEE Xplore

通信中的同步（一）——基于FFT的信号信号载波频偏估计_8psk频偏估计-CSDN博客

Compensate for frequency offset of PAM, PSK, or QAM signal – MATLAB – MathWorks 中国