正向传播和反向传播

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正向传播（Forward Propagation）

正向传播是指将输入数据通过神经网络，计算出预测值的过程。具体步骤如下：

输入层：接受输入数据。
隐藏层：每个隐藏层中的神经元接收上一层的输出，进行加权求和，再经过激活函数得到输出。
输出层：最后一层的神经元将隐藏层的输出再次加权求和并通过激活函数，得到最终的预测结果。

上图是一个简单的二层神经网络

正向传播的公式如下（以简单的单层网络为例）：

$Z= W\cdot x+b$

$y=\sigma (z)$

是权重矩阵，是输入向量，是偏置向量， $\sigma(z)$ 是激活函数，是输出结果

反向传播（Backward Propagation）

反向传播是指根据损失函数计算出的误差，通过链式法则（Chain Rule）逐层计算并更新网络中的参数（权重和偏置）以最小化误差的过程。具体步骤如下：

计算损失：使用损失函数计算预测值与真实值之间的误差。例如，使用均方误差（MSE）或交叉熵损失。
误差反向传播：从输出层开始，计算损失相对于每个参数的梯度。通过链式法则，将梯度逐层传递回去。
参数更新：使用优化算法（如梯度下降）更新每个参数，使损失最小化。参数更新公式如下：

$W_{new} = W_{old} - \eta \frac{\partial l}{\partial w}$

$W_{old}$ 是更新前的权重， $W_{new }$ 是更新后的权重， $\eta$ 是学习速率， $\frac{\partial l}{\partial w}$ 是损失函数相对于权重的梯度。

关系与作用

信息传递：正向传播将输入数据的信息从输入层传递到输出层，计算模型的预测结果；反向传播根据损失函数的梯度信息，将误差信号从输出层传递回每一层的参数，用于参数的更新。
依赖关系：反向传播依赖于正向传播的计算结果。只有在进行了正向传播并得到预测结果后，才能计算损失函数并使用链式法则进行梯度计算。
整体学习过程：正向传播和反向传播是神经网络学习过程中不可或缺的两个步骤。正向传播计算预测结果，反向传播根据预测结果与真实标签的差距来调整模型参数，使得模型在训练过程中不断优化。

通过正向传播和反向传播的结合，神经网络能够根据输入数据学习并调整参数，从而实现对复杂问题的有效建模和预测。

示例：神经网络训练过程

假设我们有一个简单的神经网络模型，包含一个输入层、一个隐藏层和一个输出层，具体如下

网络结构：
输入层：2个特征输入
隐藏层：3个神经元，使用ReLU激活函数
输出层：1个神经元，使用sigmoid激活函数

正向传播（Forward Propagation）：
在正向传播过程中，我们将输入数据通过网络层，计算得到模型的预测输出 $\hat{y}$ 。

其中：

正向传播计算出了模型的预测输出 $\hat{y}$ ，即模型对输入数据的预测结果。
- 输入层到隐藏层： $z^{[1]}=W^{[1]}X+b^{[1]}$ $a^{[1]}=ReLU(z^{[1]})$
- 隐藏层到输出层： $z^{[2]} = W^{[2]} a^{[1]} + b^{[2]}$ $\hat{y} = \sigma(z^{[2]})$
- 是输入特征向量。
- $W^{[1]}, b^{[1]}$ 是隐藏层的权重和偏置。
- $W^{[2]}, b^{[2]}$ 是输出层的权重和偏置。
- 是激活函数。
- $\sigma$ 是sigmoid激活函数。
损失计算：
使用损失函数 $\mathcal{L}(\hat{y}, y)$ 计算预测输出 $\hat{y}$ 与真实标签之间的差异。
反向传播（Backward Propagation）：
反向传播根据损失函数的梯度，从输出层向隐藏层和输入层传播，计算每个参数的梯度并更新参数。

其中， $\odot$ 表示逐元素相乘， $\text{ReLU}$ 是ReLU激活函数的导数。
- 计算输出层的梯度： $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z^{[2]}} = \hat{y} - y$
- $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W^{[2]}} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z^{[2]}} \cdot a^{[1]T}$
- $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial b^{[2]}} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z^{[2]}}$
- 计算隐藏层的梯度： $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z^{[1]}} = (W^{[2]})^T \cdot \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z^{[2]}} \odot \text{ReLU}'(z^{[1]})$
- $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W^{[1]}} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z^{[1]}} \cdot X^T$
- $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial b^{[1]}} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z^{[1]}}$

相互依赖性的体现

信息流动：
- 正向传播计算出预测结果 $\hat{y}$ ，反向传播使用 $\hat{y}$ 和真实标签的差异来计算梯度。
- 反向传播的梯度计算依赖于正向传播的预测输出 $\hat{y}$ ，因为梯度是基于损失函数对输出层的输出（即 $\hat{y}$ ）的导数计算的。
参数更新：
- 反向传播计算出的梯度用于更新神经网络的参数（权重和偏置）。
- 更新后的参数影响到下一次的正向传播，从而影响到预测输出 $\hat{y}$ 的计算结果。
迭代优化：
- 每一次迭代中，正向传播计算出新的预测结果，反向传播根据这些预测结果计算出新的梯度，并用于参数更新。
- 这种正向传播和反向传播的迭代过程不断优化模型，使得模型能够逐步逼近最优解。

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