「自控原理」1.2 复变知识回顾

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本节介绍复变函数的基础知识和常用的拉氏变换及其反变换

复数有关概念

复数、复函数

复数：$s=\sigma +j\omega$
复函数：$F(s)=F_x(s)+j{F}_y(s)$

模、相角

模：$|F(s)|=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$
相角：$\angle F(s)=\arctan \frac{F_y}{F_x}$

共轭

共轭复数：$\overline{F(s)}=F_x-j{F}_y$

解析

若F(s)在s点的各阶导数都存在，则F(s)在s点解析

拉氏变换

注：拉普拉斯变换

定义

$\mathcal{L}[f(t)]=F(s)={\int }_0^{\infty }f(t)\cdot e^{-st}dt$

常见函数的拉氏变换

注：默认函数在t<0部分为0

阶跃函数

$f(t)=\{\begin{array}{rlr}0& & t<0\\ 1& & t\ge 0\end{array}$
$\mathcal{L}[1(t)]=\frac{1}{s}$

指数函数

$f(t)=e^{-at}$
$\mathcal{L}[f(t)]=\frac{1}{s+a}$

正弦函数

$f(t)=\{\begin{array}{rlr}& 0& t<0\\ & sin\omega t& t\ge 0\end{array}$
$\mathcal{L}[f(t)]=\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$

表格展示

$\begin{array}{rlrlrl}& 常见函数& & f(t)& & F(s)\\ & & & & & \\ & 单位脉冲& & \delta (t)& & 1\\ & & & & & \\ & 单位阶跃& & 1(t)& & \frac{1}{s}\\ & & & & & \\ & 单位斜坡& & t& & \frac{1}{s^2}\\ & & & & & \\ & 单位加速度& & \frac{t^2}{2}& & \frac{1}{s^3}\\ & & & & & \\ & 指数函数& & e^{-at}& & \frac{1}{s+a}\\ & & & & & \\ & 正弦函数& & \sin \omega t& & \frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}\\ & & & & & \\ & 余弦函数& & \cos \omega t& & \frac{s}{s^2+{\omega }^2}\end{array}$

拉氏变换的几个重要定理

线性性质

$\mathcal{L}[a{f}_1(t)\pm b{f}_2(t)]=a{F}_1(s)\pm b{F}_2(s)$

微分定理

$\mathcal{L}[f^{\prime }(t)]=s\cdot F(s)-f(0)$

积分定理

$\mathcal{L}[\int f(t)dt]=\frac{1}{s}+\frac{1}{s}{f}^{(-1)}(0)]$

实位移定理

$\mathcal{L}[f(t-{\tau }_0]=e^{-{\tau }_0\cdot s}\cdot F(s)$

复位移定理

$\mathcal{L}[e^{A\cdot t}f(t)]=F(s-A)$

初值定理

$\underset{t\to 0}{\lim }f(t)=\underset{s\to \infty }{\lim }s\cdot F(s)$

终值定理

$\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)=\underset{s\to 0}{\lim }s\cdot F(s)$

拉氏反变换

反演公式

$f(t)=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{\sigma -j\infty }^{\sigma +j\infty }F(s)\cdot e^{ts}ds$

查表法

留数法分解部分分式

当A(s)=0无重根时

$F(s)=\frac{C_1}{s-p_1}+\frac{C_2}{s-p_2}+\dots +\frac{C_n}{s-p_n}=\sum _{i=1}^n\frac{C_i}{s-p_i}$
$\{\begin{array}{rl}& C_i=\underset{s\to p_i}{\lim }(s-p_i)\cdot F(s)\\ & \\ & C_i=\frac{B(s)}{A^{\prime }(s)}{|}_{s=p_i}\end{array}$
以上两种方式计算得到的结果是一样的，可以选择自己喜欢的一个用

当A(s)=0有重根时

设p₁为m重根，其余为单根
$F(s)=\frac{C_m}{(s-p_1{)}^m}+\frac{C_{m-1}}{(s-p_2{)}^{m-1}}+\dots +\frac{C_1}{s-p_1}+\frac{C_{m+1}}{s-p_{m+1}}+\dots +\frac{C_n}{s-p_n}$

$\{\begin{array}{rl}& C_m=\underset{s\to p_1}{\lim }(s-p_1{)}^m\cdot F(s)\\ & C_{m-1}=\frac{1}{1!}\underset{s\to p_1}{\lim }\frac{d}{ds}[(s-p_1{)}^m\cdot F(s)]\\ & \dots \\ & C_{m-j}=\frac{1}{j!}\underset{s\to p_1}{\lim }\frac{d^{(j)}}{d{s}^j}[(s-p_1{)}^m\cdot F(s)]\\ & \dots \\ & C_1=\frac{1}{(m-1)!}\underset{s\to p_1}{\lim }\frac{d^{(m-1)}}{d{s}^{m-1}}[(s-p_1{)}^m\cdot F(s)]\end{array}$