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本节介绍复变函数的基础知识和常用的拉氏变换及其反变换
文章目录
复数有关概念
复数、复函数
复数: s = σ + j ω s=\sigma+j\omega s=σ+jω
复函数: F ( s ) = F x ( s ) + j F y ( s ) F(s)=F_x(s)+jF_y(s) F(s)=Fx(s)+jFy(s)
模、相角
模: ∣ F ( s ) ∣ = F x 2 + F y 2 \lvert F(s)\rvert=\sqrt{F_x^2+F_y^2} ∣F(s)∣=Fx2+Fy2
相角: ∠ F ( s ) = arctan F y F x \angle F(s)=\arctan{\frac {F_y}{F_x}} ∠F(s)=arctanFxFy
共轭
共轭复数: F ( s ) ‾ = F x − j F y \overline{F(s)}=F_x-jF_y F(s)=Fx−jFy
解析
若F(s)在s点的各阶导数都存在,则F(s)在s点解析
拉氏变换
注:拉普拉斯变换
定义
L [ f ( t ) ] = F ( s ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) ⋅ e − s t d t \mathscr{L}[f(t)]=F(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\cdot{e^{-st}}dt L[f(t)]=F(s)=∫0∞f(t)⋅e−stdt
常见函数的拉氏变换
注:默认函数在t<0部分为0
阶跃函数
f ( t ) = { 0 t < 0 1 t ≥ 0 f(t)=\left\{ \begin{aligned} 0 & & t<0 \\ 1 & &t\geq0 \\ \end{aligned} \right. f(t)={
01t<0t≥0
L [ 1 ( t ) ] = 1 s \mathscr{L}[1(t)]=\frac{1}{s} L[1(t)]=s1
指数函数
f ( t ) = e − a t f(t)=e^{-at} f(t)=e−at
L [ f ( t ) ] = 1 s + a \mathscr{L}[f(t)]=\frac{1}{s+a} L[f(t)]=s+a1
正弦函数
f ( t ) = { 0 t < 0 s i n ω t t ≥ 0 f(t)=\left\{ \begin{aligned} &0 &t<0 \\ &sin\omega t & t\geq 0 \end{aligned} \right. f(t)={
0sinωtt<0t≥0
L [ f ( t ) ] = ω s 2 + ω 2 \mathscr{L}[f(t)]=\frac{\omega}{s^2+\omega^2} L[f(t)]=s2+ω2ω
表格展示
常见函数 f ( t ) F ( s ) 单位脉冲 δ ( t ) 1 单位阶跃 1 ( t ) 1 s 单位斜坡 t 1 s 2 单位加速度 t 2 2 1 s 3 指数函数 e − a t 1 s + a 正弦函数 sin ω t ω s 2 + ω 2 余弦函数 cos ω t s s 2 + ω 2 \begin{aligned} &常见函数&&f(t)&&F(s)\\\\ &单位脉冲&&\delta(t)&&1\\\\ &单位阶跃&&1(t)&&\frac{1}{s}\\\\ &单位斜坡&&t&&\frac{1}{s^2}\\\\ &单位加速度&&\frac{t^2}{2}&&\frac{1}{s^3}\\\\ &指数函数&&e^{-at}&&\frac{1}{s+a}\\\\ &正弦函数&&\sin\omega t&& \frac{\omega}{s^2+\omega^2}\\\\ &余弦函数&&\cos\omega t&& \frac{s}{s^2+\omega^2} \end{aligned} 常见函数单位脉冲单位阶跃单位斜坡单位加速度指数函数正弦函数余弦函数f(t)δ(t)1(t)t2t2e−atsinωtcosωtF(s)1s1s21s31s+a1s2+ω2ωs2+ω2s
拉氏变换的几个重要定理
线性性质
L [ a f 1 ( t ) ± b f 2 ( t ) ] = a F 1 ( s ) ± b F 2 ( s ) \mathscr{L}[af_1(t)\pm{bf_2(t)]=aF_1(s)\pm bF_2(s)} L[af1(t)±bf2(t)]=aF1(s)±bF2(s)
微分定理
L [ f ′ ( t ) ] = s ⋅ F ( s ) − f ( 0 ) \mathscr{L}[f'(t)]=s\cdot{F(s)}-f(0) L[f′(t)]=s⋅F(s)−f(0)
积分定理
L [ ∫ f ( t ) d t ] = 1 s + 1 s f ( − 1 ) ( 0 ) ] \mathscr{L}[\int{f(t)dt}]=\frac{1}{s}+\frac{1}{s}f^{(-1)}(0)] L[∫f(t)dt]=s1+s1f(−1)(0)]
实位移定理
L [ f ( t − τ 0 ] = e − τ 0 ⋅ s ⋅ F ( s ) \mathscr{L}[f(t-\tau_0]=e^{-\tau_0\cdot s}\cdot F(s) L[f(t−τ0]=e−τ0⋅s⋅F(s)
复位移定理
L [ e A ⋅ t f ( t ) ] = F ( s − A ) \mathscr{L}[e^{A\cdot t}f(t)]=F(s-A) L[eA⋅tf(t)]=F(s−A)
初值定理
lim t → 0 f ( t ) = lim s → ∞ s ⋅ F ( s ) \lim\limits_{t \rightarrow 0}f(t)=\lim\limits_{s \rightarrow\infty}s\cdot F(s) t→0limf(t)=s→∞lims⋅F(s)
终值定理
lim t → ∞ f ( t ) = lim s → 0 s ⋅ F ( s ) \lim\limits_{t \rightarrow \infty}f(t)=\lim\limits_{s \rightarrow 0}s\cdot F(s) t→∞limf(t)=s→0lims⋅F(s)
拉氏反变换
反演公式
f ( t ) = 1 2 π j ∫ σ − j ∞ σ + j ∞ F ( s ) ⋅ e t s d s f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma -j\infty}^{\sigma+j\infty}F(s)\cdot e^{ts}ds f(t)=2πj1∫σ−j∞σ+j∞F(s)⋅etsds
查表法
留数法分解部分分式
当A(s)=0无重根时
F ( s ) = C 1 s − p 1 + C 2 s − p 2 + … + C n s − p n = ∑ i = 1 n C i s − p i F(s)=\frac{C_1}{s-p_1}+\frac{C_2}{s-p_2}+…+\frac{C_n}{s-p_n}= \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{C_i}{s-p_i} F(s)=s−p1C1+s−p2C2+…+s−pnCn=i=1∑ns−piCi
{ C i = lim s → p i ( s − p i ) ⋅ F ( s ) C i = B ( s ) A ′ ( s ) ∣ s = p i \left\{ \begin{aligned} &C_i=\lim\limits_{s\rightarrow p_i}(s-p_i)\cdot F(s)\\\\ &C_i=\frac{B(s)}{A'(s)}\rvert _{s=p_i} \end{aligned} \right. ⎩
⎨
⎧Ci=s→pilim(s−pi)⋅F(s)Ci=A′(s)B(s)∣s=pi
以上两种方式计算得到的结果是一样的,可以选择自己喜欢的一个用
当A(s)=0有重根时
设p1为m重根,其余为单根
F ( s ) = C m ( s − p 1 ) m + C m − 1 ( s − p 2 ) m − 1 + … + C 1 s − p 1 + C m + 1 s − p m + 1 + … + C n s − p n F(s)=\frac{C_m}{(s-p_1)^m}+\frac{C_{m-1}}{(s-p_2)^{m-1}}+…+\frac{C_1}{s-p_1}+\frac{C_{m+1}}{s-p_{m+1}}+…+\frac{C_n}{s-p_n} F(s)=(s−p1)mCm+(s−p2)m−1Cm−1+…+s−p1C1+s−pm+1Cm+1+…+s−pnCn
{ C m = lim s → p 1 ( s − p 1 ) m ⋅ F ( s ) C m − 1 = 1 1 ! lim s → p 1 d d s [ ( s − p 1 ) m ⋅ F ( s ) ] … C m − j = 1 j ! lim s → p 1 d ( j ) d s j [ ( s − p 1 ) m ⋅ F ( s ) ] … C 1 = 1 ( m − 1 ) ! lim s → p 1 d ( m − 1 ) d s m − 1 [ ( s − p 1 ) m ⋅ F ( s ) ] \left\{ \begin{aligned} &C_m=\lim\limits_{s \rightarrow p_1}(s-p_1)^m\cdot F(s)\\ &C_{m-1}=\frac{1}{1!}\lim\limits_{s \rightarrow p_1}\frac{d}{ds}[(s-p_1)^m\cdot F(s)]\\ &…\\ &C_{m-j}=\frac{1}{j!}\lim\limits_{s \rightarrow p_1}\frac{d^{(j)}}{ds^j}[(s-p_1)^m\cdot F(s)]\\ &…\\ &C_1=\frac{1}{(m-1)!}\lim\limits_{s \rightarrow p_1}\frac{d^{(m-1)}}{ds^{m-1}}[(s-p_1)^m\cdot F(s)]\\ \end{aligned} \right. ⎩
⎨
⎧Cm=s→p1lim(s−p1)m⋅F(s)Cm−1=1!1s→p1limdsd[(s−p1)m⋅F(s)]…Cm−j=j!1s→p1limdsjd(j)[(s−p1)m⋅F(s)]…C1=(m−1)!1s→p1limdsm−1d(m−1)[(s−p1)m⋅F(s)]
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