数据结构—树与二叉树

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树的理解

专有名词解释：

结点：树中的数据元素都称之为结点

根节点：最上面的结点称之为根，一颗树只有一个根且由根发展而来，从另外一个角度来说，每个结点都可以认为是其子树的根

父节点：结点的上层结点，如图中，结点K的父节点是E、结点L的父节点是G

子节点：节点的下层结点，如图中，节点E的子节点是K节点、节点G的子节点是L节点

兄弟节点：具有相同父节点的结点称为兄弟节点，图中F、G、H互为兄弟节点

结点的度数：每个结点所拥有的子树的个数称之为结点的度，如结点B的度为3

树叶：度数为0的结点，也叫作终端结点，图中D、K、F、L、H、I、J都是树叶

非终端节点（或分支节点）：树叶以外的节点，或度数不为0的节点。图中根、A、B、C、E、G都是

树的深度（或高度）：树中结点的最大层次数，图中树的深度为4

结点的层数：从根节点到树中某结点所经路径上的分支树称为该结点的层数，根节点的层数规定为1，其余结点的层数等于其父亲结点的层数+1

同代：在同一棵树中具有相同层数的节点

 二叉树的基本概念

二叉树（Binary tree）是树形结构的一个重要类型。二叉树特点是每个结点最多只能有两棵子树，且有左右之分。许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树形式，二叉树的存储结构及其算法都较为简单，因此二叉树显得特别重要。

二叉树的遍历

• 前序遍历：中左右（根左右）

  即先访问根结点，再前序遍历左子树，最后再前序遍历右子 树。前序遍历运算访问二叉树各结点是以根、左、右的顺序进行访问的。

• 中序遍历：左中右（左根右）

  即先中前序遍历左子树，然后再访问根结点，最后再中序遍 历右子树。中序遍历运算访问二叉树各结点是以左、根、右的顺序进行访问的。

• 后序遍历：左右中（左右根）

  即先后序遍历左子树，然后再后序遍历右子树，最后访问根 结点。后序遍历运算访问二叉树各结点是以左、右、根的顺序进行访问的。

前序遍历：ABDHIECFG

中序遍历：HDIBEAFCG

后序遍历：HIDEBFGCA

经典二叉树

 满二叉树： 除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点的二叉树。 第n层的结点数是2的n-1次方，总的结点个数是2的n次方-1

完全二叉树： 叶结点只能出现在最底层的两层，且最底层叶结点均处于次底层叶结点的左侧。

二叉排序/查找/搜索树：即为BST (binary search/sort tree)。满足如下性质：

（1）若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值均小于它的根节点的值；

（2）若它的右子树上所有结点的值均大于它的根节点的值；

（3）它的左、右子树也分别为二叉排序/查找/搜索树。

对二叉查找树进行中序遍历，得到有序集合。便于检索。

4、平衡二叉树：（Self-balancing binary search tree，AVL）首先是二叉排序树，此外具有以下性质： （1）它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1 （2）并且左右两个子树也都是一棵平衡二叉树 （3）不要求非叶节点都有两个子结点

平衡二叉树的目的是为了减少二叉查找树的层次，提高查找速度。平衡二叉树的常用实现有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。

6、红黑树：即Red-Black Tree。红黑树的每个节点上都有存储位表示节点的颜色，可以是红(Red)或黑(Black)。

红黑树是一种自平衡二叉查找树，是在计算机科学中用到的一种数据结构，它是在 1972 年由 Rudolf Bayer 发明的。红黑树是复杂的，但它的操作有着良好的最坏情况运行时间，并且在实践中是高效的：它可以在 O(log n)时间内做查找，插入和删除， 这里的 n 是树中元素的数目。

红黑树的特性：

• 每个节点是红色或者黑色
• 根节点是黑色
• 每个叶子节点（NIL）是黑色。（注意：这里叶子节点，是指为空(NIL或NULL)的叶子节点）
• 每个红色节点的两个子节点都是黑色的。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)
• 从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点（确保没有一条路径会比其他路径长出2倍）

当我们插入或删除节点时，可能会破坏已有的红黑树，使得它不满足以上5个要求，那么此时就需要进行处理，使得它继续满足以上的5个要求：

1、recolor ：将某个节点变红或变黑

2、rotation ：将红黑树某些结点分支进行旋转（左旋或右旋）

红黑树可以通过红色节点和黑色节点尽可能的保证二叉树的平衡。主要是用它来存储有序的数据，它的时间复杂度是O(logN)，效率非常之高。

二叉树及其结点的表示

普通二叉树：

TreeMap红黑树：