贝塞尔曲线参数化曲率公式推导及曲线优化

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

贝塞尔曲线曲率的公式推导

1 曲率公式计算实例

下文将分别推导三阶、四阶、五阶贝塞尔曲线的曲率公式，其中从曲率公式的形式来看，主要是计算分母、分子的Bernstein基系数。

1.1 n=3(三阶贝塞尔曲线)曲率公式的推导

1.1.1 分母的Bernstein基系数

其中Q为：


f(t)为C’(t)的平方：

分别计算以上矩阵，并将相应的式子带入有：

对于Bernstein基多项式（4次）表达式为：

整理成以上多项式形式为：

联立以上两式有，基系数为

1.1.2 分子的Bernstein基系数

1.1.3 三阶贝塞尔曲线图和曲率图

1.2 n=4(四阶贝塞尔曲线)曲率公式的推导

1.2.1 分母的Bernstein基系数

其中Q的表达式为：

式中的系数为：

代入上式中计算有：

对于Bernstein基多项式（6次）表达式为：

整理成以上多项式形式为：

其中，

1.2.2 分子的Bernstein基系数

1.2.3 四阶贝塞尔曲线图和曲率图

1.3 n=5(五阶贝塞尔曲线)曲率公式的推导

1.3.1 分母的Bernstein基系数

已知条件：

于是Q有：

相应的系数为：


将相应的矩阵计算式代入上式中，
对于Bernstein基多项式（8次）表达式为：

整理成以上多项式形式为：

其中，

1.3.2 分子的Bernstein基系数

1.3.3 五阶贝塞尔曲线图和曲率图

2 曲线优化目标函数

（2）中点处的角偏差；

（3）曲线的速度。

给三个特征值分配不同的权重，建立目标函数为：

其中，有

2.1 计算实例

2.1.1 三次贝塞尔曲线

（1）取a=0，b=0时，

先计算得到最优λ为0.4751，f=1.0174e(-5)，再带入公式中求得其他值。
（2）取a=0.1，b=0时，

先计算得到最优λ为0.3295，f=0.1109,再带入公式求其他值。
（3）取a=0.4，b=0时，

先计算得到最优λ为0.0001，f=0.2651,再带入公式求其他值。
（4）取a=0，b=0.1时，

先计算得到最优λ为0.6336，f=0.0652,再带入公式求其他值。
（5）取a = 0.8 , b = 0.2时，

先计算得到最优λ为0.2611，f=1.0834,再带入公式求其他值。
以上算例的曲线图和曲率图绘制如下。

2.1.2 四次贝塞尔曲线

（1）取a=0，b=0时，

先计算得到最优λ为0.6237，f=0.0013847,再带入公式求其他值。
（2）取a=0.2，b=0时，

先计算得到最优λ为0.4706，f=0.1611,再带入公式求其他值。

（3）取a=0.4，b=0时，

先计算得到最优λ为0.0925，f=0.2588,再带入公式求其他值。
（4）a = 0 , b = 0.2时，

（5）a = 0.9 , b = 0.1时，

先计算得到最优λ为0.3327，f=0.8695,再带入公式求其他值。
以上算例的曲线图和曲率图绘制如下。

2.1.3 五次贝塞尔曲线

上式的计算与原文中有出入，暂没找出问题所在，仅作参考。
算例计算过程如上，相应的曲线图和曲率图如下绘制。


参考文献 Optimization of Corner Blending Curves