高等数学 —— 函数的极限

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一.函数极限的定义

在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。

1.自变量趋于有限值时函数的极限

去心邻域
以$x_0$为中心的任何开区间称为点$x_0$的邻域，记作$U(x_0)$;在$U(x_0)$中去掉中心$x_0$后，称为点$x_0$的去心邻域，记作$\mathring{U}(x_0)$

如果在$x\to x_0$的过程中，对应的函数值$f(x)$无限接近于确定的数值$A$，那么就说$A$是函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限

定义1    \; 设函数$f(x)$在点$x_0$的某一去心邻域内有定义。如果存在常数$A$,对于任意给定的正数$\epsilon$(不论它多么小)，总存在正数$\delta$,使得当$x$满足不等式$0<|x-x_0|<\delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式

$$|f(x)-A|<\epsilon$$

那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限，记作

$$\underset{n\to x_0}{\lim }f(x)=A或f(x)\to A(当x\to x_0)$$

定义中$0<|x-x_0|$表示$x\ne x_0$，所以$x\to x_0$时$f(x)$有没有极限，与$f(x)$在点$x_0$处是否有定义并无关系。

定义1可以简单地表述为

$$\underset{n\to x_0}{\lim }f(x)=A\iff \forall \epsilon >0,\exists \delta >0,当0<|x-x_0|<\delta 时,有|f(x)-A|<\epsilon$$

函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限为A的几何解释如下:任意给定一正数$\epsilon$,作平行于$x$轴的两条直线$y=A+\epsilon$ 和 $y=A-\epsilon$，介于这两条直线之间是一横条区域。根据定义，对于给定的$\epsilon$，存在着点$x_0$的一个$\delta$领域$(x_0-\delta ,x_0+\delta )$，当$y=f(x)$的图形上的点的横坐标$x$在领域$(x_0-\delta ,x_0+\delta )$内，但$x\ne x_0$时，这些点的纵坐标$f(x)$满足不等式
$$|f(x)-A<\epsilon |$$
或
$$A-\epsilon <f(x)<A+\epsilon$$
亦即这些点落在上面所作的横条区域内，如下图：

有时只能或只需考虑$x$仅从$x_0$的左侧趋于$x_0$（记作$x\to x_0$）的情形，或$x$仅从$x_0$的右侧趋于$x_0$（记作$x\to x_0$）的情形。在$x\to x_0$的情形，$x$在$x_0$的左侧，$x<x_0$。在$\underset{n\to x_0}{\lim }f(x)=A$的定义中，把$0<|x-x_0|<\delta$改为$x_0-\delta <x<x_0$，那么$A$就叫做函数$f(x)$当$x\to x_0$时的左极限，记作
$$\underset{n\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A或f(x_0^{-})=A$$
类似地，在$\underset{n\to x_0}{\lim }f(x)=A$的定义中，把$0<|x-x_0|<\delta$改为$x_0<x<x_0+\delta$，那么$A$就叫做函数$f(x)$当$x\to x_0$时的右极限，记作
$$\underset{n\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A或f(x_0^{+})=A$$
左极限与右极限统称为单侧极限

根据$x\to x_0$时函数$f(x)$的极限的定义以及左极限和右极限的定义，容易证明：函数$f(x)$当$x\to x_0$时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即
$$f(x_0^{-})=f(x_0^{+})$$

2.自变量趋于无限大时函数的极限

如果在$x\to \infty$的过程中，对应的函数值$f(x)$无限接近于确定的数值$A$，那么就说$A$是函数$f(x)$当$x\to \infty$时的极限

定义1    \; 设函数$f(x)$当$|x|$大于某一正数时有定义。如果存在常数$A$,对于任意给定的正数$\epsilon$(不论它多么小)，总存在正数$X$,使得当$x$满足不等式$|x|>X$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式

$$|f(x)-A|<\epsilon$$

那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$x\to \infty$时的极限，记作

$$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x)=A或f(x)\to A(当x\to \infty )$$

定义2可以简单地表述为

$$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x)=A\iff \forall \epsilon >0,\exists X>0,当x\to \infty 时,有|f(x)-A|<\epsilon$$

从几何上来说，$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x)=A$的意义是：作直线$y=A-\epsilon$和$y=A+\epsilon$，则总有一个正数X存在，使得当$x<-X$或$x>X$时，函数$y=f(x)$的图形位于这两直线之间，这时，直线$y=A$是函数$y=f(x)$的图形的水平渐近线，如下图：

二.函数极限的计算方法

函数极限的四则运算法则

设${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A,{\lim }_{x\to x_0}g(x)=B$，则

1. $$\begin{array}{r}\underset{x\to x_0}{\lim }\left[f(x)\pm g(x)\right]=A\pm B=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\pm \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)\end{array}$$
2. $$\underset{x\to x_0}{\lim }\left[f(x)\ast g(x)\right]=A\ast B=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\ast \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$$
3. $$\underset{x\to x_{0}g(x)}{\lim }=\frac{A}{B}=\frac{\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)}{\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)}(B\ne 0)$$

推论
若${\lim }_{x\to x_0}f(x),{\lim }_{x\to x_0}g(x)$存在，则

1. $$\underset{x\to x_0}{\lim }\left[\alpha f(x)+\beta g(x)\right]=\alpha \underset{x\to x_0}{\lim }f(x)+\beta \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$$
2. $$\underset{x\to x_0}{\lim }{\left[f(x)\right]}^n={\left[\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\right]}^n\left(n\in {\text{Z}}^{+}\right)$$
3. $$若f（x）\ge 0，\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{f(x)}=\sqrt{\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)}$$

上述极限中，将“x→x0”改为“x→∞”，结论仍然成立．（证明过程有所差别）

注 （1）设$P_n（x）=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+a_2{x}^{n-2}+\dots +a_n$，则

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to x_0}{\lim }{P}_n(x)& =\underset{x\to x_0}{\lim }\left(a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+a_2{x}^{n-2}+\cdots +a_n\right)\\ & =\left(a_0\underset{x\to x_0}{\lim }{x}^n+a_1\underset{x\to x_0}{\lim }{x}^{n-1}+a_2\underset{x\to x_0}{\lim }{x}^{n-2}+\cdots +a_n\underset{x\to x_0}{\lim }1\right)\\ & =a_0{x}_0^n+a_1{x}_0^{n-1}+a_2{x}_0^{n-2}+\cdots +a_n=P_n(x_0);\end{array}$$

（2）设$f(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$，其中$P_n（x）、Q_m（x）$为多项式，$Q_m（x0）\ne 0$，则
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\frac{{\lim }_{x\to x_0}{P}_n(x)}{{\lim }_{x\to x_0}{Q}_m(x)}=\frac{P_n(x_0)}{Q_m(x_0)}=f(x_0).$$

复合函数的极限运算法则
设函数$y=f［g（x）］$是由函数$u=g（x）$与$y=f（u）$复合而成的，$f［g（x）］$在点$x_0$的去心邻域内有定义，若${\lim }_{x\to x_0}g\left(x\right)=u_0,{\lim }_{u\to u_0}f(u)=A$，且存在${\delta }_0>0$，当$x\in \stackrel{\circ }{U}(x_0,{\delta }_0)$时，有$g（x）\ne u0$，则

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f[g(x)]=\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=A\text{.}$$

三.函数极限的性质

定理1(函数极限的唯一性)    \; 如果$\underset{n\to x_0}{\lim }f(x)$存在，那么这极限唯一

定理2(函数极限的局部有限性)    \; 如果$\underset{n\to x_0}{\lim }f(x)=A$，那么存在常数$M>0$和$\delta >0$,使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)\le M|$

定理3(函数极限的局部保号性)    \; 如果$\underset{n\to x_0}{\lim }f(x)=A$,且$A>0$(或$A<0$),那么存在常数$\delta >0$,使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，有$f(x)>0$(或$f(x)<0$)

定理$3^1$    \; 如果$\underset{n\to x_0}{\lim }f(x)=A(A\ne 0)$，那么就存在着$x_0$的某一去心邻域$\mathring{U}(x_0)$，当$x\in \mathring{U}(x_0)$时，就有$|f(x)|>\frac{|a|}{2}$

由定理3，易得以下推论：

推论    \; 如果在$x_0$的某一去心邻域内$f(x)\ge 0$（或$f(x)\le 0$）,而且$\underset{n\to x_0}{\lim }f(x)=A$，那么$A\ge 0$（或$A\le 0$）

定理4(函数极限与数列极限的关系)    \; 如果极限$\underset{n\to x_0}{\lim }f(x)=A$存在，$|x_n|$为函数$f(x)$的定义域内任一收敛于$x_0$的数列，且满足：$x_n\ne x_0(n\in N_{+})$，那么相应的函数值数列 { f ( x n ) } \{f(x_n)\} {
f(xn​)}必收敛，且$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$