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情形一：
d d x ∫ 0 x f ( t ) d t = f ( x ) \frac{\rm{d}}{
{\rm d}\,x}\int_0^xf(t){\rm d}\,t=f(x) dxd∫0xf(t)dt=f(x)
情形二：
d d x ∫ 0 g ( x ) f ( t ) d t = f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) \frac{\rm{d}}{
{\rm d}\,x}\int_0^{g(x)}f(t){\rm d}\,t=f(g(x))g'(x) dxd∫0g(x)f(t)dt=f(g(x))g′(x)
情形三：
d d x ∫ 0 x f ( x − t ) d t = 令 u = x − t = d d x ∫ x 0 f ( u ) d − u = d d x ∫ 0 x f ( u ) d u = f ( x ) \begin{aligned} \frac{\rm d}{
{\rm d}x}\int_0^xf(x-t){\rm d}\,t&\xlongequal{
{\text 令}u=x-t}\\ &=\frac{\rm d}{
{\rm d}x}\int_x^0f(u){\rm d}\,-u\\ &=\frac{\rm d}{
{\rm d}x}\int_0^xf(u){\rm d}\,u=f(x) \end{aligned} dxd∫0xf(x−t)dt令u=x−t=dxd∫x0f(u)d−u=dxd∫0xf(u)du=f(x)
不是每一道题都要像此处令 u = x − t u=x-t u=x−t，应根据实际情况做适当换元。
例一：
d d x ∫ 0 x t f ( 2 x − t ) d t = 令 u = 2 x − t − d d x ∫ 2 x x ( 2 x − u ) f ( u ) d u = d d x 2 x ∫ x 2 x f ( u ) d u − d d x ∫ x 2 x u f ( u ) d u = 2 ∫ x 2 x f ( u ) d u + 4 x f ( 2 x ) − 2 x f ( x ) − 4 x f ( 2 x ) + x f ( x ) = 2 ∫ x 2 x f ( u ) d u − x f ( x ) \begin{aligned} \frac{\rm d}{
{\rm d}x}\int_0^xtf(2x-t){\rm d}\,t &\xlongequal{
{\text 令}u=2x-t}-\frac{\rm d}{
{\rm d}x}\int_{2x}^x(2x-u)f(u){\rm d}\,u\\ &=\frac{\rm d}{
{\rm d}x}2x\int_x^{2x}f(u){\rm d}\,u-\frac{\rm d}{
{\rm d}x}\int_x^{2x}uf(u){\rm d}\,u\\ &=2\int_x^{2x}f(u){\rm d}\,u+4xf(2x)-2xf(x)-4xf(2x)+xf(x)\\ &=2\int_x^{2x}f(u){\rm d}\,u-xf(x) \end{aligned} dxd∫0xtf(2x−t)dt令u=2x−t−dxd∫2xx(2x−u)f(u)du=dxd2x∫x2xf(u)du−dxd∫x2xuf(u)du=2∫x2xf(u)du+4xf(2x)−2xf(x)−4xf(2x)+xf(x)=2∫x2xf(u)du−xf(x)
例二：
d d x ∫ 0 3 x 2 ln t + x 2 d t = 令 u = t + x 2 d d x ∫ x 2 4 x 2 ln u d u = 8 x ln 2 x − 2 x ln x \begin{aligned} \frac{\rm d}{
{\rm d}x}\int_0^{3x^2}\ln\sqrt{t+x^2}{\rm d}\,t&\xlongequal{
{\text 令}u=t+x^2}\frac{\rm d}{
{\rm d}x}\int_{x^2}^{4x^2}\ln\sqrt{u}{\rm d}\,u\\ &=8x\ln2x-2x\ln x \end{aligned} dxd∫03x2lnt+x2dt令u=t+x2dxd∫x24x2lnudu=8xln2x−2xlnx
除此以外，还可以使用一个更加 牛逼 复杂的一个公式，具体可看下文
含参积分求导/积分上限函数求导/
2022年2月24日17:26:15
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