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这也是一个分划,而且在这个分划里, A A A 中无最大数, A ′ A^{\prime} A′
中无最小数. 这是因为, 当 x > 1 x>1 x>1且 x 2 < 2 x^{2}<2 x2<2 时, 对任何满足
0 < h < 2 − x 2 2 x + 1 0<h<\frac{2-x^{2}}{2 x+1} 0<h<2x+12−x2 的 h h h, 有
( x + h ) 2 = x 2 + 2 x h + h 2 < x 2 + 2 x h + h < x 2 + 2 − x 2 = 2. (x+h)^{2}=x^{2}+2 x h+h^{2}<x^{2}+2 x h+h<x^{2}+2-x^{2}=2 . (x+h)2=x2+2xh+h2<x2+2xh+h<x2+2−x2=2.
可见 A A A 中无最大数. 类似地, 设 x > 0 x>0 x>0 且 x 2 > 2 x^{2}>2 x2>2, 则对任何满足
0 < h < x 2 − 2 2 x 0<h<\frac{x^{2}-2}{2 x} 0<h<2xx2−2 的 h h h, 有
( x − h ) 2 = x 2 − 2 x h + h 2 > x 2 − 2 x h > 2. (x-h)^{2}=x^{2}-2 x h+h^{2}>x^{2}-2 x h>2 . (x−h)2=x2−2xh+h2>x2−2xh>2.
可见 A ′ A^{\prime} A′ 中无最小数.
第三种分划的存在说明有理数集尽管稠密,但仍有空隙.容易看出,填补上例中空隙的正是无理数
2 \sqrt{2} 2.
现在回头来看上面由新数 α \alpha α 所产生的分划 (1),
究竟属于哪一种.很清楚,如果 A A A有最大数或 A ′ A^{\prime} A′
有最小数,则该最大数或最小数与 α \alpha α 之间将不存在任何有理数,
从而与引理 2 矛盾,所以由 α \alpha α 所产生的分划
( A , A ′ ) \left(A, A^{\prime}\right) (A,A′) 必为第三种分划. 反之, 设
( A , A ′ ) \left(A, A^{\prime}\right) (A,A′) 是 Q \mathbf{Q} Q
的任一第三种分划,它是否必由某一新数 α \alpha α 产生呢? 首先 A A A 与
A ′ A^{\prime} A′ 之间必至少有一新数存在, 否则 A A A 作为 R \mathbf{R} R
的有上界的子集将没有上确界(最小上界), 这与 R \mathbf{R} R 的完备性相矛盾.
其次, A A A 与 A ′ A^{\prime} A′ 之间也只能有一个新数, 倘若有两个新数,
则在这两个数之间又将不存在任何有理数, 这又与引理 2 相矛盾.
设这唯一的新数为 α \alpha α, 则分划 ( A , A ′ ) \left(A, A^{\prime}\right) (A,A′) 只能由
α \alpha α 所
(1) 由有理数本身的秙密性, 不可能存在上类有最小数,
同时下类有最大数的分划.
产生而且也是反过来确定 α \alpha α 的. 这样就获得如下重要结果: 如果
Q \mathbf{Q} Q 能扩充成完备的有序域 R \mathbf{R} R,则 R \mathbf{R} R
中的新数与 Q Q Q 中的第三种分划必一一对应.
这样一来, 只要知道 Q \mathbf{Q} Q 的所有第三种分划, 就可以知道
R \mathbf{R} R 上的序, 这是因为不仅新数与旧数可比较大小,
新数与新数也可以比较大小. 一旦知道了 R \mathbf{R} R 上的序, 就可从
Q \mathbf{Q} Q内已知的四则运算推知 R \mathbf{R} R 上的四则运算.
这是因为在有序域上序与加法、乘法运算是协调的. 此外, 也不难看到: 若存在
Q \mathbf{Q} Q 的完备扩充的话, 则这种扩充基本上(即在序同构意义下)
是唯一的. 所有这些虽然我们不打算作深人地讨论,
但必须认识到有上述事实,才有助于对以下内容的理解.
三、分划全体所成的有序集
现在不再假设 R \mathbf{R} R 的存在,而是要把它真正地构造出来. 我们设想,
对每一个可能的 Q \mathrm{Q} Q 的第三种分划, 都定义一个新数来填补空隙.
由于这种分划与新数是一一对应的, 因此, 不妨干脆就把分划本身用来充当新数,
这是允许的. 因为归根到底数学对象本身究竟是什么并不重要,
重要的是它们之间的关系和运算. 而且为统一起见,
我们也用分划形式来表示相应的旧数 (正如把整数扩充到有理数时,
也可用假分数来表示整数那样).于是我们就把注意力转到 Q \mathbf{Q} Q
的分划的全体上去.
定义 2 Q 2 \mathbf{Q} 2Q 的分划的全体称为分划集, 以 R \mathbf{R} R 表示,
其中第一种分划和第二种分划看作是同一种分划, 即由同一个 r r r
产生的第一种分划和第二种分划不加区别地看作同一分划, 称为有端分划
1 { }^{1} 1, 并用 r ∗ r^{*} r∗ 记这个分划. 第三种分划称为无端分划.
今后凡分划,不论有端还是无端, 都用小写希腊字母来表示, 如
α = ( A , A ′ ) , β = ( B , B ′ ) \alpha=\left(A, A^{\prime}\right), \beta=\left(B, B^{\prime}\right) α=(A,A′),β=(B,B′)
等( 小写拉丁字母则用来表示有理数).
由于任一分划均由它的上、下两类中的任何一类完全确定, 因此,
给定了分划的一个类, 也就完全确定了该分划. Q \mathbf{Q} Q
的怎样的子集才能成为一个分划的类呢? 对此有如下命题:
定理 1 \mathbf{1} 1 (类的标志) Q \mathrm{Q} Q 的非空子集 M M M
能成为一个分划的上 (下) 类的充要条件是:
1 ∘ M ≠ Q 1^{\circ} \quad M \neq \mathbf{Q} 1∘M=Q;
2 ∘ 2^{\circ}
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