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一、伯努利方程的形式
d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n （ 注 意 这 个 n 是 指 n 次 方 而 非 n 阶 导 ） \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n （注意这个n是指n次方而非n阶导） dxdy+P(x)y=Q(x)yn（注意这个n是指n次方而非n阶导）
观察发现：
- 一阶方程（导数的次数最高为1次）
- 当n=0，线性非齐次方程
- 当n=1，线性齐次方程
一般的非线性方程是很难求解的，上述形式的方程可以通过转换为线性非齐次方程求解。
二、求解步骤
求解思路：化陌生为熟悉，通过换元将非线性方程转换成线性方程。
- 先将yn拿到左边，得到： y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) y−ndxdy+P(x)y1−n=Q(x)
- 注意到： d y 1 − n d x = d y 1 − n d y ⋅ d y d x = ( 1 − n ) y − n d y d x \Large \frac{dy^{1-n}}{dx} = \frac{dy^{1-n}}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = (1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx} dxdy1−n=dydy1−n⋅dxdy=(1−n)y−ndxdy
- 因此，我们将y-n收进去，得到： 1 1 − n d y 1 − n d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) \frac{1}{1-n}\frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) 1−n1dxdy1−n+P(x)y1−n=Q(x)
- 令 z = y 1 − n z = y^{1-n} z=y1−n，得到： d z d x + ( 1 − n ) P ( x ) z = ( 1 − n ) Q ( x ) \frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x) dxdz+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x)
- 发现此时面对的就是一阶线性非齐次常微分方程，带入通解公式即可求得 z = z ( x ) = y 1 − n z=z(x)=y^{1-n} z=z(x)=y1−n
- 解得： y = z ( x ) 1 − n y= \sqrt[1-n]{z(x)} y=1−nz(x)
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