解析几何：第六章 二次曲面（1）球面 椭球面 双曲面

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§1.球面

1.球面方程，球心与半径

2.球面的切平面与法线

若以平面P通过球面上一点M，且垂直与半径GM，则称平面P为球面在点M的切平面。直线MG称为球面在点M的法线。

设球面方程为x²+y²+z²+2px+2qy+2rz+d=0

则球面在点的切平面方程为x₀x+y₀y+z₀z+p(x+x₀)+q(y+y₀)+r(z+z₀)+d=0

球面在点的法线方程为

3.两个球面的交角，两个球面正交的条件

（1）两个球面的交角是指它们在交点处的两个切平面的夹角。

设两个球面S₁:x²+y²+z²+2p₁x+2q₁y+2r₁z+d₁=0

          S₂:x²+y²+z²+2p₂x+2q₂y+2r₂z+d₂=0

记它们的交角为θ，则有 

上式中不包含交点的坐标，所以两个球面在交线上各点的交角都相等。       

（2）由交角余弦表达式，可得到两个球面正交的条件为

2p₁p₂+2q₁q₂+2r₁r₂–d₁–d₂=0

§2 椭球面

1. 椭球面方程

（1）标准方程：

（a,b,c>0)

     参数方程：

（角φ，θ如图所示）

（2）特殊情况

• 当a=b时为旋转椭球面

它是OXZ平面上曲线(椭圆)： 绕Z轴旋转面得到的

注：b=c或a=c的情况类似

• 当a=b=c时为球面：x²+y²+z²=a²

2. 基本元素

• 顶点：
• 主轴：

依照a,b,c的大小，分别称为长轴、中轴、短轴。主轴之半径称为半轴，类似的有长半轴、中半轴、短半轴之分。

• 主平面 OXY平面：z=0 ; OYZ平面：x=0 ; OZX平面：y=0
• 中心 O(0,0,0)
• 直径：通过中心的弦
• 直径平面：通过中心的平面

§3  双曲面

1.单叶双曲面

(1)标准方程

            (a,b,c>0)

(2) 基本元素

·顶点  

·主轴        （依照a,b的大小分别称为实长轴和实短轴）

·中心 O(0,0,0)

·主平面 OXY平面：z=0 ; OYZ平面: x=0; OZX平面：y=0

(3) 直纹面母线方程

单叶双曲面是直纹面，且通过曲线面上每一点均有两条直母线。单叶双曲面上的两族直母线方程为：

与

（4) 平面与单叶双曲面的交线

·平行于Z轴的平面与单叶双曲面的交线都是双曲线，特殊情况为一对相交直线。

·垂直于Z轴的平面与单叶双曲面的交线都是椭圆，特别，OXY平面与曲面的交线：

称为单叶双曲面的腰圆.(如右图）

2. 双叶双曲面

（1）标准方程

 （a,b,c>0)

(2)基本元素

·顶点  C,C´(0,0,±c)

·主轴  （依照a,b大小分别称为实长轴和实短轴）

·中心 O(0,0,0)

·主平面 OXY平面：z=0 ; OYZ平面：x=0; OZX平面：y=0

（3）当a=b时为旋转双曲面

           当a=b时，双叶双曲面是由OXZ平面上的双曲线绕Z轴旋转得到的。

（4）平面与双叶双曲面的交线

·平行于Z轴的平面与双叶双曲面的交线均为双曲线

·垂直于Z轴的平面z=k(|k|≥c)与双叶双曲面的交线都是椭圆。特殊情况(|k|=c)为一点。

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