【数学】弧长的积分公式，也即求曲线方程曲线的长度，求圆的周长公式

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本文将推导弧长积分公式。

对于函数 y=f(x) ，在区间 [a,b] 上连续可导。那么求该函数在该区间上的弧的长度。

则弧长的微元 $ds=\sqrt{(dx^{2}+dy^{2})}={\sqrt{1+f'(x)^{2}}}{dx}$

则在区间 [a,b] 上，弧长 $S=\sum_{i=a}^{b}(x_{i+1}-x_{i})\sqrt{1+f'(x)^2} =\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^{2}}dx$ (弧长公式）

针对于积分的定义，可以使用牛顿.莱布尼茨公式对其进行求解。

【求圆的周长举例】

圆的半径设为，圆的公式为 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ，划为 y=f(x) 的形式为 $y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}$ ，此处y取正值，先求在第一象限内的四分之一圆。

由于弧长公式中有个 $f'(x)^{2}$ ，我们先把 f'(x) 求出来：

$f'(x)=\frac{1}{2}({r^2-x^2})^{-\frac{1}{2}}(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{r^2 -x^2}}$

则 $f'(x)^2=\frac{x^2}{r^2-x^2}$

将其带入弧长公式，在第一象限的 $x\in [0, r]$

$S=\int_{0}^{r}\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}dx=\int_{0}^{r}\sqrt{\frac{r^2}{r^2-x^2}}dx=r\int_{0}^{r}{\frac{dx}{\sqrt{r^2-x^2}}}$

$=r\int_{0}^{r}{\frac{d\frac{x}{r}}{\sqrt{1-(\frac{x}{r})^2}}}=rarcsin(\frac{x}{r})|_{0}^{r}=r\frac{\pi }{2}$

则

$C=4S=4r\frac{\pi }{2}=2\pi r$

同时，针对 $ds=\sqrt{(dx^{2}+dy^{2})}$ 也可以将dx与dy使用参数式方程划为 t 的函数。具体参考：【数学】积分法推导求圆的周长、弧度

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【数学】弧长的积分公式，也即求曲线方程曲线的长度，求圆的周长公式

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