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1. 什么是向量的模
向量的模，即向量的大小或长度。比如，对于向量 V ⃗ = ( v i , v 2 , ⋯ , v n ) \vec{V} = (v_i, v_2, \cdots, v_n) V=(vi,v2,⋯,vn) 它的模表示为：
∥ V ⃗ ∥ = ∑ i = 1 n v i 2 \left \| \vec{V} \right \| = \sqrt{\sum_{i=1}^n v_i^2} ∥∥∥V∥∥∥=i=1∑nvi2
2. 什么是单位向量
在线性代数及相关数学领域中，单位向量就是长度为 1 的向量。单位向量的符号通常有个“帽子”， n ^ \hat n n^。通常一个非零向量的正则化向量就是该向量的单位向量。比如，对于向量 V ⃗ = ( v i , v 2 , ⋯ , v n ) \vec{V} = (v_i, v_2, \cdots, v_n) V=(vi,v2,⋯,vn) 它的单位向量 v ^ \hat v v^ 表示为
v ^ = V ⃗ ∥ V ⃗ ∥ \hat v = \frac{\vec{V}}{\left \| \vec{V} \right \| } v^=∥∥∥V∥∥∥V
此外，三维直接坐标系里， i ^ \hat i i^， j ^ \hat j j^， k ^ \hat k k^ 分别是x，y，z轴的单位向量
i ^ = [ 1 0 0 ] \hat i = \left [ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right ] i^=⎣⎡100⎦⎤
j ^ = [ 0 1 0 ] \hat j = \left [ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right ] j^=⎣⎡010⎦⎤
k ^ = [ 0 0 1 ] \hat k = \left [ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right ] k^=⎣⎡001⎦⎤
在其他坐标系中，如极坐标系、球坐标系，使用不同的单位向量，符号也会不一样。
3. 什么是零向量
在线性代数及相关数学领域中，零向量（也称 退化向量）即所有元素都为 0 的向量 V ⃗ = ( 0 , 0 , … , 0 ) \vec{V} =(0, 0, …, 0) V=(0,0,…,0)。零向量可以表示为大写字母 O O O，或 0 ⃗ \vec{0} 0。
0 ⃗ = [ 0 0 ⋮ 0 ] \vec{0} = \left [ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} \right ] 0=⎣⎢⎢⎢⎡00⋮0⎦⎥⎥⎥⎤
4. 什么是反向量
一个向量 V ⃗ \vec{V} V 的反向量是指与它大小相等，但方向相反的向量。它有如下定义：
a ⃗ + b ⃗ = 0 ⃗ \vec{a} + \vec{b} = \vec{0} a+b=0
向量 a ⃗ \vec a a 和向量 b ⃗ \vec b b 互为 「反向量」。
5. 什么是等向量
不论起点终点，只要有两个或多个向量，彼此方向、大小相等，则称这些向量是 「等向量」 或 「相等的向量」。
6. 什么是方向向量
对于任意向量 a ⃗ \vec a a ，若存在一个向量 b ⃗ \vec b b，两者的方向相同，大小不一定相同，则 b ⃗ \vec b b 是 a ⃗ \vec a a 的一个方向向量。
7. 向量运算
7.1. 向量与常数的乘积运算 （可以计算向量倍长）
对于向量 V ⃗ = ( v i , v 2 , ⋯ , v n ) \vec{V} = (v_i, v_2, \cdots, v_n) V=(vi,v2,⋯,vn) 它与常数 k k k 的乘积表示为：
k ⋅ V ⃗ = k ⋅ [ v 1 v 2 ⋮ v n ] = [ k ⋅ v 1 k ⋅ v 2 ⋮ k ⋅ v n ] k \cdot \vec{V} = k \cdot \left [ \begin{matrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} k \cdot v_1 \\ k \cdot v_2 \\ \vdots \\ k \cdot v_n \end{matrix} \right ] k⋅V=k⋅⎣⎢⎢⎢⎡v1v2⋮vn⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡k⋅v1k⋅v2⋮k⋅vn⎦⎥⎥⎥⎤
7.2. 向量的加法和减法 （向量的线性组合）
两个向量 a ⃗ \vec{a} a 和 b ⃗ \vec{b} b 相加或相减，得到的都是另一个向量，即
a ⃗ ± b ⃗ = [ a 1 a 2 ⋮ a n ] ± [ b 1 b 2 ⋮ b n ] = [ a 1 ± b 1 a 2 ± b 2 ⋮ a n ± b n ] \vec a \pm \vec b = \left [ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{matrix} \right ] \pm \left [ \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} a_1 \pm b_1 \\ a_2 \pm b_2 \\ \vdots \\ a_n \pm b_n \end{matrix} \right ] a±b=⎣⎢⎢⎢⎡a1a2⋮an⎦⎥⎥⎥⎤±⎣⎢⎢⎢⎡b1b2⋮bn⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡a1±b1a2±b2⋮an±bn⎦⎥⎥⎥⎤
从空间图像上，向量之间的加减法遵循 「三角形法则」 或 「四边形法则」 ，它们可以表示为 a ⃗ \vec{a} a 和 b ⃗ \vec{b} b 的起点重合后，以它们为邻边构成的平行四边形的一条对角线，或者表示为将 a ⃗ \vec{a} a 的终点和 b ⃗ \vec{b} b 的起点重合后，从 a ⃗ \vec{a} a 的起点指向 b ⃗ \vec{b} b 的终点的向量：
对于 a ⃗ − b ⃗ \vec a – \vec b a−b 来说，它也可以理解为 a ⃗ + ( − b ⃗ ) \vec a + (-\vec b) a+(−b) ，也就是在向量 b ⃗ \vec b b 的顶点做一条方向相反、大小相等的反向量，然后执行向量 a ⃗ \vec a a 与向量 − b ⃗ -\vec b −b 的加法运算。
7.3. 数量积（点乘，可以求向量的投影）
数量积也叫点积，它是向量与向量的乘积，其结果为一个标量（非向量）。几何上，数量积可以定义如下：
a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos θ \vec a \cdot \vec b = |\vec a| |\vec b| \cos \theta a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ
即向量 a ⃗ \vec a a 在向量 b ⃗ \vec b b 方向上的投影长度， θ \theta θ 表示为两向量的夹角。
7.4. 向量积（叉乘，可以求向量面积或垂直向量）
向量积也叫叉积，外积，它也是向量与向量的乘积，不过需要注意的是，它的结果是个向量。它的几何意义是所得的向量与被乘向量所在平面垂直，方向由右手定则规定，大小是两个被乘向量张成的平行四边形的面积，所以向量积不满足交换律。
a ⃗ × b ⃗ = ∣ i ⃗ j ⃗ k ⃗ a x a y a z b x b y b z ∣ = ( a y b z − a z b y ) i ⃗ + ( a x b z − a z b x ) j ⃗ + ( a x b y − a y b x ) k ⃗ \vec a \times \vec b = \left | \begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{matrix} \right | = (a_y b_z – a_z b_y)\vec i + (a_x b_z – a_z b_x) \vec j + (a_x b_y – a_y b_x) \vec k a×b=∣∣∣∣∣∣iaxbxjaybykazbz∣∣∣∣∣∣=(aybz−azby)i+(axbz−azbx)j+(axby−aybx)k
我个人感觉这个概念应该还是最早出自物理研究。在比较后数学和物理的记忆方法后，我个人认为物理关于记忆磁通量 B B B 的方法其实更合适。也就是说：
伸出你的右手，四指指向 a ⃗ \vec a a 的方向，然后朝着 b ⃗ \vec b b 的方向握紧拳头，此时大拇指的方向即 c ⃗ \vec c c 的方向。
然后，这个记忆方法可以扩展到比如「旋度」等各种概念上，非常好用。
7.5. 混合积（可以求三个向量组成的六面体的体积）
几何上，由三个向量 a ⃗ \vec a a， b ⃗ \vec b b， c ⃗ \vec c c 定义的平行六面体，其体积等于这三个向量的混合积，其表示为：
V = ∣ a ⃗ b ⃗ c ⃗ ∣ = ( a ⃗ × b ⃗ ) ⋅ c ⃗ = ( b ⃗ × c ⃗ ) ⋅ a ⃗ = ( c ⃗ × a ⃗ ) ⋅ b ⃗ V = |\vec a \vec b \vec c| = (\vec a \times \vec b) \cdot \vec c = (\vec b \times \vec c) \cdot \vec a = (\vec c \times \vec a) \cdot \vec b V=∣abc∣=(a×b)⋅c=(b×c)⋅a=(c×a)⋅b
其证明是这样：
我们知道一般体积公式表示为
体 积 ( V ) = 底 面 积 ( S ) × 高 ( h ) 体积(V) = 底面积(S) \times 高(h) 体积(V)=底面积(S)×高(h)
对于地面积S，可以由
S = ∣ a ⃗ × b ⃗ ∣ S = |\vec a \times \vec b| S=∣a×b∣
得到。尽管叉乘得到的是一个垂直于 a ⃗ \vec a a 和 b ⃗ \vec b b 的向量 S ⃗ \vec S S，但是它的模，也就是大小等于 ∣ a ⃗ ∣ × ∣ b ⃗ ∣ |\vec a| \times |\vec b| ∣a∣×∣b∣ ,也就是的面积。
此时， S ⃗ ⋅ c ⃗ \vec S \cdot \vec c S⋅c 得到的是 c ⃗ \vec c c 在向量 S ⃗ \vec S S 的投影长 ∣ c ⃗ ∣ cos θ |\vec c| \cos \theta ∣c∣cosθ 也就是高。
于是，由点乘公式可以得到
S ⃗ ⋅ c ⃗ = ∣ S ⃗ ∣ ∣ c ⃗ ∣ cos θ \vec S \cdot \vec c = |\vec S| |\vec c| \cos \theta S⋅c=∣S∣∣c∣cosθ
即
( a ⃗ × b ⃗ ) ⋅ c ⃗ = 面 积 ( ∣ S ∣ ) ⋅ 高 ( ∣ c ⃗ ∣ ⋅ cos θ ) (\vec a \times \vec b) \cdot \vec c = 面积(|S|) \cdot 高 (|\vec c| \cdot \cos \theta) (a×b)⋅c=面积(∣S∣)⋅高(∣c∣⋅cosθ)
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