高等代数(七)-线性变换08：若尔当 (Jordan) 标准形介绍

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§ 8 若尔当 (Jordan) 标准形介绍
同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的,我们期望通过基的变换使它的矩阵化为简单的形状.
对角矩阵具有简单形状,
从前面第五节的讨论已经知道,并不是每个线性变换都有一组基使它在这组基下矩阵为对角形.现在提出问题:一般线性变换通过选择基能将它的矩阵变为什么样的简单形状的矩阵.
我们将这种矩阵称为线性变换下矩阵的标准形.
这个问题也等价于:任一方阵经过相似变换能变成什么样的标准形.
这一节我们限制在复数域中讨论.
定义 9 形为
$$\mathbf{J}\left({\lambda }_0,k\right)={\left(\begin{array}{ccccccc}{\lambda }_0& 0& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ 1& {\lambda }_0& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& {\lambda }_0& 0\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 1& {\lambda }_0\end{array}\right)}_{k\times k}$$
的矩阵称为若尔当块, 其中 ${\lambda }_0$ 是复数.
由若干个若尔当块组成的准对角矩阵
$$A=\left(\begin{array}{llll}\mathbf{J}\left({\lambda }_1,k_1\right)& & & \\ & \mathbf{J}\left({\lambda }_2,k_2\right)& & \\ & & \ddots & \\ & & & \mathbf{J}\left({\lambda }_1,k_1\right)\end{array}\right)$$
称为若尔当形矩阵, 其中 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,\lambda$,
为复数, 有一些可以相同.
J ( 1 , 3 ) = ( 1 0 0 1 1 0 0 1 1 ) , ( J ( 1 , 3 ) J ( 4 , 2 ) ) = ( 1 0 0