【代数结构】群 ( 群的定义 | 群的基本性质 | 群的证明方法 | 交换群 )

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群的定义

群 的 定义 : 一个 非空 集合 $G$ 中 , 如果 定义了 一个 “乘法” 运算 , 满足以下 四个 性质 , 那么 该 非空集合 $G$ 称为 群 ;

• 1. 封闭性 :
  • 1> 符号表示 : $\forall a,b\in G,a\times b=c\in G$
  • 2> 自然语言描述 : 非空集合 $G$ 中任意两个元素 $a,b$ 相乘, 其结果 $c$ 也是 集合 $G$ 中的元素 ;
• 2. 结合律 :
  • 符号表示 : $\forall a,b,c\in G,a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$ ;
• 3. 有单位元 :
  • 1> 符号表示 : $\exists e\in G,\forall a\in G,e\times a=a\times e=a$
  • 2> 自然语言描述 : 存在一个 $e$ , 乘以 $a$ , 或者 与 $a$ 相乘 , 其结果都是 $a$ , 相当于 $1$ ;
• 4. 每个元 $a$ 有逆元 $a^{-1}$ :
  • 1> 符号表示 : $\exists e\in G,\forall a\in G,\exists a^{-1}\in G,a^{-1}\times a=a\times a^{-1}=e$ ,
  • 2> 自然语言描述 : $e$ 是之前的 单位元 ( 类似于 $1$ ) , $a$ 与 $a$ 的逆 相乘 , 结果是单位元 $e$ ;

注意 :
这个 “乘法” 是指集合中元素的 “乘法” , 即 集合中元素的 二元运算 ;
$G\times G$ 构成代数结构可以表示成 $(G,\cdot )$

群的分类

群 的 分类 :

• 1.交换群 ( Abel 群 ) : 交换律 成立的 群 , 称为 交换群 或 Abel 群 ;
• 2.非交换群 ( 非 Abel 群 ) : 交换律 不成立的 群 , 称为 非交换群 或 非 Abel 群 ;
• 3.群 的 阶 : 群 $G$ 含有的元素个数叫群的阶 , 记做 $|G|$ ;
• 4.有限群 : $|G|$ 是 有限的 , 叫做 有限群 ;
• 5.无限群 : $|G|$ 是 无限的 , 叫做 无限群 ;

群的证明方法

群的证明方法 : 给定一个 集合 $G$ 和 二元运算 , 证明该集合是群 ;

• 1.非空集合 : 首先说明 该集合是一个非空集合 ;
• 2.证明封闭性 : 集合 中 任意两个元素 进行运算 得到的 第三个元素 必须也在 集合中 ;
• 3.证明结合律 : 集合中 $a$ 与 $b$ 和 $c$ 进行二元运算 , 其结果 与 $a$ 和 $b$ 与 $c$ 进行运算结果相同 ;
• 4.证明其有单位元 : 集合中存在一个 $e$ 元素 , $a$ 与 $e$ 和 $e$ 与 $a$ 运算 结果都是 $a$ ; 相当于乘法中的 $1$ 或 加法中的 $0$ ;
• 5.证明其逆元 : $a$ 与 $a^{-1}$ 或者 $a^{-1}$ 与 $a$ 进行运算 , 其结果是 $e$ 单位元 ;

满足以上 $4$ 个条件 , 就可以证明 该集合 是一个 关于该运算的 群 ;

交换群的证明方法

在群的证明方法基础上 , 证明其交换律成立 ;

数集回顾

数集 及 表示方法 :

• 1.整数 : $Z$ , 所有整数组成的集合 , 称为 整数集 ;
• 2.正整数 : $Z^{+},N^{\ast },N^{+}$ , 所有正整数组成的集合 , 称为正整数集 ;
• 3.负整数 : $Z^{-}$ , 所有负整数组成的集合 , 称为负整数集 ;
• 4.非负整数 : $N$ , 所有非负整数组成的集合 , 称为非负整数集 ( 或 自然数集 ) ;
• 5.有理数 : $Q$ , 全体有理数 组成的集合 , 称为有理数集 ;
• 6.实数集 : $R$ , 全体实数组成的集合 , 称为实数集 ;
• 7.虚数 : $I$ , 全体虚数组成的集合 , 称为虚数集 ;
• 8.复数 : $C$ , 全体实数 和 虚数 组成的集合 , 称为复数集 ;

有理数 : 是由整数除法产生的 , 可以由分数表示 , 其小数部分为 有限 或 无限循环小数 ;
实数 : 无理数一般是由正整数开方产生 , 实数与数轴上的点一一对应 , 包含有理数 和 无理数 , 无理数是无限不循环小数 ;
虚数 : 虚数一般是平方是负数或根号内是负数产生 , 虚数分为实部 或 虚部 ;

数集中的常用上标 用法 :

• 1.正数 : ${}^{+}$ 表示该数集中元素全为 正数 ;
• 2.负数 : ${}^{-}$ 表示该数集中的元素全为 负数 ;
• 3.剔除 $0$ 元素 : ${}^{\ast }$ 表示剔除该数集上的元素 $0$ ;

$R^{\ast }$ 表示剔除 实数集 $R$ 中的 元素 $0$ ,
R ∗ = R ∖ { 0 } = R − ∪ R + = ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) R^* = R \setminus \{0\} = R^- \cup R^+ = (- \infty , 0) \cup (0,+ \infty) R∗=R∖{
0}=R−∪R+=(−∞,0)∪(0,+∞)

群的证明

题目 : 证明所有有理数 关于 乘法 构成一个群 ;

证明方法 : 给定一个 集合 $G$ 和 二元运算 , 证明该集合是群 ;

• 1.非空集合 : 首先说明 该集合是一个非空集合 ;
• 2.证明封闭性 : 集合 中 任意两个元素 进行运算 得到的 第三个元素 必须也在 集合中 ;
• 3.证明结合律 : 集合中 $a$ 与 $b$ 和 $c$ 进行二元运算 , 其结果 与 $a$ 和 $b$ 与 $c$ 进行运算结果相同 ;
• 4.证明其有单位元 : 集合中存在一个 $e$ 元素 , $a$ 与 $e$ 和 $e$ 与 $a$ 运算 结果都是 $a$ ; 相当于乘法中的 $1$ 或 加法中的 $0$ ;
• 5.证明其逆元 : $a$ 与 $a^{-1}$ 或者 $a^{-1}$ 与 $a$ 进行运算 , 其结果是 $e$ 单位元 ;

满足以上 $4$ 个条件 , 就可以证明 该集合 是一个 关于该运算的 群 ;

证明 :

① 封闭性 : 有理数 相乘 肯定也是有理数 , 满足封闭性 ;
② 结合律 : $3$ 个 任意 有理数 相乘 , 显然也是 满足 结合律的 ;
③ 证明单位元 : 存在 $e=1$ , 有理数 乘以 1 或者 1 乘以 有理数 , 都等于该有理数 , 说明单位元存在 ;
④ 证明逆 $a^{-1}$ 的存在 : 集合中的任意元素 $a$ , 其 $a^{-1}=\frac{1}{a}$ , $a^{-1}\times a=a\times a^{-1}=e=1$ , 其逆元成立 ;

因此 有理数 关于 乘法 构成一个群 ;