求矩阵的秩

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求矩阵的秩

矩阵秩的求法也有几种，比如说它的定义和简便求法，让我们来复习一下：

矩阵秩的定义：

在$m\times n$的矩阵$A$中有一个不等于0的r阶子式$D$，且所有的r+1阶子式全等于0，则$D$是该矩阵的最高阶非零子式。非零子式的最高阶数即叫做矩阵的秩，记作$R(A)$，r是rank的缩写。

矩阵秩的求解：

定义法：

该方法是根据矩阵的秩的定义来求，如果找到k阶子式为0，而k-1阶子式不为0，那么k-1即该矩阵的秩，来看下面例子：
$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$$
针对矩阵$A$，我们首先找到它的一个三阶子式是否为0，如我们可以找到：
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
很显然，该子式等于-1不等于0，所以该矩阵的秩为3

阶梯型矩阵非零行数：

该方法便是我们求解矩阵的秩的时候常用的方法，用该方法求解可以分为两步：

1、现将原先的矩阵简化为阶梯型矩阵

2、数出新矩阵的非零行行数，即为该原矩阵的秩

例如下面这个矩阵：
$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 4& 1\\ 2& 4& 8& 2\\ 3& 6& 2& 0\end{array}\right)$$
我们可以对其进行行变换：
$$\begin{array}{rl}A& =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 4& 1\\ 2& 4& 8& 2\\ 3& 6& 2& 0\end{array}\right)\\ & \\ & \Rightarrow \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 4& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -10& -3\end{array}\right)\\ & \\ & \Rightarrow \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 4& 1\\ 0& 0& -10& -3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$
因此可以得知该矩阵的秩为2。

全选主元高斯消去求秩

用以上的方法可能会有个小问题，就是消元之后会碰到该行元素都是0的情况，因此为了消除该不确定因素，确保该算法的稳定，我们使用全选主元高斯消去法来进行消元求秩，全选主元的过程如下所示：

对于矩阵消元过程中的第$k$步，首先，在 $a_{kk}$的右下方（包括$a_{kk}$自己）的$n-k+1$阶子矩阵中选取绝对值最大的元素，并将该元素所在的行号记录在$IS(k)$中，而列号记录在$JS(k)$中，然后通过行交换与列交换将该绝对值最大的元素交换到主对角线$a_{kk}$的位置上，即做以下两步：
$$\begin{gathered} A(k,l)\iff A(IS(k),l),l=1,2,...,n \\ A(l,k)\iff A(l,JS(k)),l=1,2,...,n \end{gathered}$$
经过全选主元过后，矩阵消元的过程是稳定的。但最后需要对结果进行恢复。恢复过程如下：
$$\begin{gathered} A(k,l)\iff A(JS(k),l),l=1,2,...,n \\ A(l,k)\iff A(l,IS(k)),l=1,2,...,n \end{gathered}$$

还是以上那个例子：

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 4& 1\\ 2& 4& 8& 2\\ 3& 6& 2& 0\end{array}\right)$$
对$a_{00}$进行全选主元，发现右下角子矩阵中最大的是8，因此保存行号与列号$IS(0)=2$，$JS(0)=3$以便恢复，此时交换两元素：
$$\begin{array}{rl}A& \stackrel{行变换后}{⟹}\left(\begin{array}{cccc}2& 4& 8& 2\\ 1& 2& 4& 1\\ 3& 6& 2& 0\end{array}\right)\\ & \stackrel{列变换后}{⟹}\left(\begin{array}{cccc}8& 4& 2& 2\\ 4& 2& 1& 1\\ 2& 6& 3& 0\end{array}\right)\end{array}$$
此时再进行消元操作：
$$\begin{array}{rl}A& \stackrel{归一化}{⟹}\left(\begin{array}{cccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ 4& 2& 1& 1\\ 2& 6& 3& 0\end{array}\right)\\ & \stackrel{消元}{⟹}\left(\begin{array}{cccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 5& \frac{5}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\end{array}$$
因为此时的消元只为了求秩，因此不复原也可，若是为了求逆或求解矩阵，则必须还原。

此时再对$a_{11}$全选主元，最大值为5，同样进行交换：
$$\begin{array}{rl}A& \stackrel{行变换后}{⟹}\left(\begin{array}{cccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ 0& 5& \frac{5}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$
此时再进行归一和消元：
$$\begin{array}{rl}A& \stackrel{归一化}{⟹}\left(\begin{array}{cccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ 0& 1& \frac{1}{2}& -\frac{1}{10}\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$
此时对$a_{22}$全选主元，最大值为0，此时便可知道，该矩阵的秩为2。

总结

来总结一下关于全选主元的方法：

设有$m\times n$阶矩阵：
$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{00}& a_{01}& \dots & a_{0,n-1}\\ a_{10}& a_{11}& \dots & a_{1,n-1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m-1,0}& a_{m-1,1}& \dots & a_{m-1,n-1}\end{array}\right)$$
取 k = m i n { m , n } k=min\{m,n\} k=min{
m,n}。对于$r=0,1,\dots ,k-1$，用全选主元高斯消去法将A变为上三角矩阵，知道某次$a_{rr}=0$为止，矩阵$A$的秩为$r$。

对该算法进行接口设计 int rank(double* a, int m, int n)

接口与参数说明：

此时就可以轻松写出代码：

#include <cmath> template <int M, int N> int rank(double a[M][N]) { int i, j, k, l; int is, js, nn; double q, d; // 找出M和N最小值 nn = M > N ? N : M; k = 0; for(l = 0; l != nn; ++l) { // 循环找出主元 q = 0; for(i = l; i != M; ++i) { for(j = l; j != N; ++j) { d = fabs(a[i][j]); if(d > q) { q = d; is = i; js = j; } } } // 主元为0，返回答案 if(q + 1.0 == 1.0) { return k; } k++; // 主元行交换 if(is != i) { for(j = l; j != N; ++j) { d = a[l][j]; a[l][j] = a[is][j]; a[is][j] = d; } } // 主元列交换 if(js != j) { for(i = l; i != M; ++i) { d = a[i][js]; a[i][js] = a[i][l]; a[i][l] = d; } } // 对其他行数进行消元 for(i = l+1; i != ; ++i) { d = a[i][l] / a[l][l]; for(j = l+1; j != N; ++j) { a[i][j] = a[i][j] - d * a[l][j]; } } } return k; } 

我们运用以上例子来进行检验：

#include "rank.hpp" int main() { double a[3][4] = { 
  {1, 2, 4, 1}, {2, 4, 8, 2}, {3, 6, 2, 0}}; int r = rank<3, 4>(a); std::cout << r << std::endl; return 0; } 

程序输出如下：

2