“复利”详解

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上篇文章，我分享了学习“利率”的一些学习笔记：

“利率”的计算-CSDN博客

里面提到了“复利”，我感知到“复利”这个概念对我们的人生非常非常的重要，于是想再写一篇笔记，分享一些学习“复利”的感悟。

上篇文章我们分享了，“复利”的公式是：

终值 = 本金 * (1 + r) ^ n （r为利率，n为年限） 

复利公式里最重要的就是 (1 + r) ^ n 这个系数，所以很多地方就把 (1 + r) ^ n 当作是复利公式。

学习复利公式，有一点特别需要大家注意，就是“复利”会带来指数增长的效果，在数学上一个数字的 n 次方就叫做指数，而复利公式里刚好有一个 n 次方，就是这个n次方带来了指数增长的效果。

我们的人生中很少能碰到指数增长的例子，所以指数增长是违反人的直觉的，大部分人对指数级增长很难有正确的或者深刻的认识，我来举一些例子，让大家直观地感受一些指数级增长是什么样的感觉。

“存钱”的复利

假设你在 20 岁的时候存了1万块钱，并且你想让它一直复利增长下去，那么到了你 70 岁退休的时候，你的1万块钱会变成多少钱呢？从 20 岁到 70 岁中间一共是 50 年，所以 n 就是 50，那么 50 年后就应该是1万 * (1+ r) ^ 50。我们先假设利率 r 等于0，那么就是 1万 * (1 + 0) ^ 50，意味着 50 年后你的1万块钱依然是1万块钱，没有挣到任何的利息，那随着利率的升高，在 r 等于2%，4%，6%，8%，10%，12%，14% 甚至更高的时候，我们分别计算一下，会发现结果的差异越来越大。

从表中可以看到，在 2% 的利率下，1万块钱会变成 2.69 万，将近翻了 3 倍的样子，在 4% 的利率下，大概会有 7 倍，在 6% 的利率下，大概会有 18 倍，在 8% 的利率下，大概会有 46 倍，在 10% 的利率下，大概会有 117 倍。所以利率看起来只是简单的增加了2%，但是每增加一个 2% 的时候，在指数级的增长下，最终得出的结果差的却是很多很多倍，这就是指数的力量。

并且这个比例对任何的初始的金额都是一样的。如果你的本金是1万，那按照 10% 的利率复利 50 年，就是 117 万。但是如果你的本金是 10 万，那也是一样，放大 10 倍就变成 1173 万。

“棋盘上的麦粒”

通过上面的计算，我们可能对“复利”有了初步印象，我再举一个例子，来帮助大家增加一些感性的认识。“棋盘上的麦粒“，这个故事很多人小时候应该听说过，说的是有一个国王要给赏赐，问那个被赏赐的人说：“你想要点什么呀？我是国王，我有无数的钱，你想要什么你就说出来，我都能满足你！” 被赏赐的那个人就说：“我就想要国王赏赐给我一些麦粒儿，在棋盘上的第一个格子里放 1 个麦粒，第二个格子里放 2 个，第三个格子里放 4 个，每一个格子都比前一个格子数量多一倍，以此类推，一直摆满整个 64 格的棋盘。”

你看，这个故事就是一个典型的“复利”的指数增长的故事，第二个格子比第一个多一倍，那意味着是 100% 的增长。所以我们可以看作 r 就等于100%，那格子的数量就可以看作是n，所以套用公式到第 64 个格子的时候，总的数量应该是：1 * (1 + 100%) ^ 64，这个结果算出来将会是一个巨大无比的天文数字，有可能是全世界几百年的麦子加起来都没有这么多。

一张纸能对折几次

还有一个关于“折纸”的例子，说“一张白纸最多可以对折几次”，这个故事依然是一个关于复利的指数增长的故事。我们想象一下，一张白纸每对折一次后，就等于它的厚度翻倍了，意味着 100% 的增长，这跟刚才讲的麦粒的故事一样，依然可以看作是利率 r 等于100%，而对折的次数就是n，那我们依然可以用公式 (1 + r) ^ n 套用到这里边做计算。所以，哪怕我们假设一张纸的厚度只有微不足道的 0.1 毫米，但是在对折三四十次之后，这张纸的厚度会远超出我们的想象，会远超出大气层，甚至会超出从地球到月球的距离，地球上就已经装不下它了。

通过上面两个例子，我们需要认识到一个结论，就是在“复利”的指数级增长的条件下，无论是 r 还是 n，都不可能太大，大了就有问题了，因为地球就这么大，土地就这么多，大气层就这么厚，人类的总财富就这么点儿，指数级的增长如果太猛了，地球就容不下你了。

“庞氏骗局”的背后

认识到上面例子中的规律，我们就会发现，人类历史上几乎所有的“庞氏骗局”基本上都是违背这个规律的，大部分的庞氏骗局你都能够依靠这种感性的认知一眼就识别出来，比如说市面上有很多打着“炒外汇”名义的庞氏骗局，而且每年都会有新冒出来的骗子外汇公司，他们换一个全新的名字，然后用一模一样的老手段去行骗。

比如在 2018 年有一个叫 PTFX 的骗子公司，这家公司当时宣称说自己是合法的，注册在某个国家，受到某个国家或者某个交易所的官方监管，非常的正规。他们在公司的网站上，放了一堆看起来像是某某证书的照片。他们还会宣称他们公司里有一些非常牛的外汇交易员，大家把钱打到这个公司的平台之后，钱就会交给这些非常牛的外汇交易员去操作，平均每个月都能盈利10%，他们甚至还会包装这个团队里的人，比如说放一个穿西装的男人的照片，告诉你这个人叫皮特，过去的一年里他平均每个月都盈利8%。然后再放第二个人的照片，告诉你这个人叫查理，过去的一年里，这个人平均每个月都盈利9%，再放第三个人的照片，说这个人叫迈克，过去的一年里平均每个月都盈利10%。他们还会在网站上时不时更新公司的新闻，说上个月公司喜迎湖北考察团，然后照片上是一群人拉着横幅在一起拍照，大家一起在写作楼里合影，说这就是来自内地某省的投资考察团，他们专程坐飞机飞到位于国外的公司去考察的照片。等到下个月，新闻又说欢迎河北的考察团，然后再放点类似的照片，总之会包装出很多很多的噱头出来。

然而噱头再多也没有用，我们只要看本质，每个月 10% 的盈利，这就等同于是在按照月利率 10% 去做复利的计算，那一年 12 个月可以复利 12 次，两年就是 24 次，三年就是 36 次，咱们只要套用复利的公式计算一下，就会发现有这种“炒外汇”技术的人，哪怕他最初兜里只有 10 万块，那在连续复利5年之后，他就会有超过 3000 万的资金了，6年之后他就超过一个亿了，7年之后他会超过三个亿，那十年之后这个人会有上百亿的资产，这个速度远比“点石成金”还快得多。

所以你真相信世界上有这种比“点石成金”还快的技术吗？就算真有这种技术，那有这种技术的人他为什么要领工资受聘于这种公司呢？所以他们说的皮特、查理、迈克这样的人，他能是真实存在的吗？所以谁敢相信每个月都能赚10%，就说明这个人的脑海里对指数增长的概念一无所知，才会进入到这种圈套。

到现在 PTFX 这个骗局早已倒掉，但是每年都会有一模一样套路的公司，他们换个名字又卷土重来了，然后又再一次的骗了很多人。所以我们一定要认识到：在指数增长的条件下，r 不可能太大， n 也不可能太大，否则肯定是假的。你只要记住这个结论，再多的骗局都根本骗不到你。

“GDP”增长的背后

通过拆解“庞氏骗局”的例子，我们得出结论：在指数增长的条件下，r 不可能太大， n 也不可能太大，否则肯定是假的。那反过来说， r 不需要太大，但是每年只要那么一点点，持续一段时间后也会有让人很惊喜的结果。我再举几个真实的例子，大家来看一看这些数据。

在 1960 年的时候，美国的 GDP 是 5, 400 亿美元，而同一年日本的 GDP 是 440 亿美元，连美国的 1/10 都没有，只相当于美国 8% 的水平。那 18 年后，到了 1978 年，美国的 GDP 翻了 4 倍，达到了 23, 500 亿美元。而日本的 GDP 则翻了 20 倍，达到了 10, 100 亿美元，相当于达到了美国的 43% 的水平。但其实这只不过是每年多了 5% 到 6% 的增长而已。 18 年 18 次复利，结果就造就了当时全世界都在说的”日本经济奇迹“。当时的人们都在讨论说，再过十年日本有没有可能超过美国，然后没过多少年美国就对日本动手了。

另一组数据是关于我们中国的，2000 年的时候，美国的 GDP 达到了 10 万亿美元，而中国当年的 GDP，经过多年的改革开放的发展，终于在 2000 年的时候达到了 1.2 万亿美元的水平。但是对比美国，当年我们中国只相当于美国的不到 12% 的水平。但是后来经过 20 年的增长，每年比美国多 5% 到 6%，那 20 次复利之后，到了 2020 年，中国的 GDP 是 15.5 万亿美元，而美国的 GDP 是 20.9 万亿美元，已经增长到了美国的 74% 的水平。

至于去年2023年的数据，中国的GDP为17.56万亿美元，增速5.2%，美国的GDP为27.37万亿美元，增速2.5%。如果一直保持这样的增速不变，按照“复利”公式计算，中国将在18年后，也就是2042年超过美国。

所以我们一定要认识到“复利”公式 (1 + r) ^ n 有多么大的力量，不需要太高的增长率，每年只需要那么一点点，那持续一段时间后结果就是巨大的。

巴菲特曾经说过一句话，他说”没有人愿意缓慢的变富”，这是因为大部分的人都不知道复利的威力，大家都不知道指数增长是多么可怕的力量。其实每年只要多那么一点点，长久的积累下来也会是不可忽视的结果。

希望大家能从我的分享中获得一点点启示，希望大家在生活中，再追求财富的道路上，不那么焦虑，不那么心急。市面上有很多一夜暴富的套路，基本都是各种各样的骗局，还有各种各样的高风险，高杠杆，暴涨暴跌，追求暴富的游戏，这些基本都是不靠谱的，只有大家不心急，才能够躲得过这些诱惑。