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三角形面积与三角函数
已知两边及其夹角的情况下——三角函数
在一个三角形中，有 a , b , c a,b,c a,b,c三条边以及 A , B , C A,B,C A,B,C三个角，它们与三角形面积的关系可写作
S = 1 2 a b s i n C = 1 2 a c s i n B = 1 2 b c s i n A S = \frac 12absinC = \frac 12 acsinB= \frac 12 bcsinA S=21absinC=21acsinB=21bcsinA
已知三顶点坐标的情况下——矢量运算
已知三顶点坐标 A / B / C A/B/C A/B/C，易得任意两矢量，以下以 a b ⃗ / a c ⃗ \vec{ab}/\vec{ac} ab/ac为例。由于矢量运算的叉乘存在以下性质
a b ⃗ × a c ⃗ = 2 S Δ A B C \begin{equation} \begin{split} \vec{ab}\times\vec{ac} = 2S_{\Delta ABC} \end{split} \end{equation} ab×ac=2SΔABC
所以三角形的面积可表示为
S Δ A B C = a b ⃗ × a c ⃗ 2 \begin{equation} \begin{split} S_{\Delta ABC} = \dfrac{\vec{ab}\times\vec{ac}}{2} \end{split} \end{equation} SΔABC=2ab×ac
已知三边长度的情况下——海伦公式
海伦公式
已知三边长度为 a / b / c a/b/c a/b/c，求一个三角形的半周长 p p p
p = a + b + c 2 \begin{equation} \begin{split} p = \dfrac{a+b+c}{2} \end{split} \end{equation} p=2a+b+c
根据海伦公式计算三角形面积
S Δ A B C = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) \begin{equation} \begin{split} S_{\Delta ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \end{split} \end{equation} SΔABC=p(p−a)(p−b)(p−c)
海伦公式的推导
设 B D = x BD = x BD=x, D C = a − x DC = a -x DC=a−x
由勾股定理可得
A B 2 − B D 2 = A D 2 = A C 2 − D C 2 AB^2-BD^2 = AD^2 =AC^2-DC^2 AB2−BD2=AD2=AC2−DC2
写作
c 2 − x 2 = b 2 − ( a − x ) 2 c 2 − x 2 = b 2 − ( a 2 − 2 a x + x 2 ) c 2 − x 2 = b 2 − a 2 + 2 a x − x 2 c 2 = b 2 − a 2 + 2 a x 2 a x = a 2 − b 2 + c 2 x = a 2 − b 2 + c 2 2 a \begin{split} c^2-x^2 &= b^2-(a-x)^2 \\ c^2-x^2 &= b^2-(a^2 -2ax + x^2) \\ c^2-x^2 &= b^2-a^2 +2ax – x^2 \\ c^2 &= b^2-a^2 +2ax \\ 2ax &= a^2-b^2 +c^2 \\ x &= \frac{a^2-b^2 +c^2}{2a} \end{split} c2−x2c2−x2c2−x2c22axx=b2−(a−x)2=b2−(a2−2ax+x2)=b2−a2+2ax−x2=b2−a2+2ax=a2−b2+c2=2aa2−b2+c2
因此有
A D 2 = c 2 − x 2 = c 2 − ( a 2 − b 2 + c 2 2 a ) 2 = c 2 − ( a 2 − b 2 + c 2 ) 2 4 a 2 = 1 4 a 2 [ ( 2 a c ) 2 − ( a 2 − b 2 + c 2 ) 2 ] = 1 4 a 2 [ 2 a c + ( a 2 − b 2 + c 2 ) ] [ 2 a c − ( a 2 − b 2 + c 2 ) ] = 1 4 a 2 [ ( a + c ) 2 − b 2 ] [ b 2 − ( a − c ) 2 ] = 1 4 a 2 ( a + c + b ) ( a + c − b ) ( b + a − c ) ( b − a + c ) A D = 1 2 a ( a + c + b ) ( a + c − b ) ( b + a − c ) ( b − a + c ) \begin{split} AD^2 &= c^2-x^2 \\ &= c^2-\Big(\frac{a^2-b^2 +c^2}{2a}\Big)^2 \\ &= c^2-\frac{(a^2-b^2 +c^2)^2}{4a^2} \\ &= \frac 1{4a^2}[(2ac)^2 – (a^2-b^2 +c^2)^2] \\ &= \frac 1{4a^2}[2ac + (a^2-b^2 +c^2)][2ac – (a^2-b^2 +c^2)] \\ &= \frac 1{4a^2}[(a+c)^2-b^2][b^2-(a-c)^2] \\ &= \frac 1{4a^2}(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c) \\ AD&=\frac 1{2a}\sqrt{(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)} \\ \end{split} AD2AD=c2−x2=c2−(2aa2−b2+c2)2=c2−4a2(a2−b2+c2)2=4a21[(2ac)2−(a2−b2+c2)2]=4a21[2ac+(a2−b2+c2)][2ac−(a2−b2+c2)]=4a21[(a+c)2−b2][b2−(a−c)2]=4a21(a+c+b)(a+c−b)(b+a−c)(b−a+c)=2a1(a+c+b)(a+c−b)(b+a−c)(b−a+c)
三角形的面积 S Δ A B C S_{\Delta ABC} SΔABC可表示为
S Δ A B C = 1 2 B C ⋅ A D = 1 2 a 1 2 a ( a + c + b ) ( a + c − b ) ( b + a − c ) ( b − a + c ) = 1 4 ( a + c + b ) ( a + c − b ) ( b + a − c ) ( b − a + c ) \begin{split} S_{\Delta ABC} &= \frac 12 BC·AD \\ &= \frac 12 a \frac 1{2a}\sqrt{(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)} \\ &= \frac 14 \sqrt{(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)} \\ \end{split} SΔABC=21BC⋅AD=21a2a1(a+c+b)(a+c−b)(b+a−c)(b−a+c)=41(a+c+b)(a+c−b)(b+a−c)(b−a+c)
令 ( a + b + c ) / 2 = p (a+b+c)/2 = p (a+b+c)/2=p，称 p p p为三角形的半周长，有
a + b + c = 2 p b + c − a = a + b + c − 2 a = 2 ( p − a ) c + a − b = a + b + c − 2 b = 2 ( p − b ) a + b − c = a + b + c − 2 c = 2 ( p − c ) \begin{split} a + b + c &= 2p \\ b+c-a &= a+b+c-2a \\ &= 2(p-a) \\ c+a-b &= a+b+c-2b \\ &= 2(p-b) \\ a+b-c &= a+b+c-2c \\ &= 2(p-c) \\ \end{split} a+b+cb+c−ac+a−ba+b−c=2p=a+b+c−2a=2(p−a)=a+b+c−2b=2(p−b)=a+b+c−2c=2(p−c)
综上，海伦公式可表示为
S Δ A B C = 1 4 2 p ⋅ 2 ( p − a ) ⋅ 2 ( p − b ) ⋅ 2 ( p − c ) = p ⋅ ( p − a ) ⋅ ( p − b ) ⋅ ( p − c ) \begin{split} S_{\Delta ABC} &= \frac 14 \sqrt{2p·2(p-a)·2(p-b)·2(p-c)} \\ &= \sqrt{p·(p-a)·(p-b)·(p-c)} \\ \end{split} SΔABC=412p⋅2(p−a)⋅2(p−b)⋅2(p−c)=p⋅(p−a)⋅(p−b)⋅(p−c)
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